北京化工大学数理统计---两类错误势函数

势函数设检验问题0011::,HH的拒绝域为W，则样本观测值落在拒绝域内的概率称为该检验的势函数，记为01()(),gPWx犯两类错误的概率都是参数的函数，并可由势函数算得，即：01,(),PHturegPHtureWWxx即：01(),()1(),g特别的，当参数空间010101{,},{},{},01,()1,;.g该检验的势函数是的函数，它可用正态分布表示，具体为：011gnz下面以为例说明：0010::,HH1WUz由可推出具体的拒绝域为：0PUc推导如下：01()()XgPzn011nz设已知，22~(,),XN01()XPznn势函数是的增函数（见图），只要就可保证在时有0()g0()g的图形()g对单边检验是类似的，0010::HvsH只是拒绝域变为:{}Wuz其势函数为0gnz对双边检验问题，拒绝域为12{}Wuu其势函数为01/201/21gnunu假设检验的两类错误H0为真实际情况决定拒绝H0接受H0H0不真第一类错误正确正确第二类错误P{拒绝H0|H0为真}=,P{接受H0|H0不真}=.犯两类错误的概率:显著性水平为犯第一类错误的概率.任何检验方法都不能完全排除犯错假设检验的指导思想是控制犯第一类误的可能性.理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小,但在样本容量给定的情形下,不可能使两者都很小,降低一个,往往会使另一个增大.错误的概率不超过,然后,若有必要,通过增大样本容量的方法来减少第二类错误.当样本容量确定后,犯两类错误的命题概率不可能同时减少.00110:;:HH此时犯第二类错误的概率为00()PHH接受伪0110XPZn证设在水平给定下,检验假设20~(,)XN01011100()nnzzzz即由此可见,当n固定时1)若1zz2)若1zz111010()HXPZn右边检验1()z10/n左边检验1()z双边检验2211()()1zz其中U检验法中的计算公式前提：已知均值的真值100110:;:HH设在水平给定下,检验假设20~(,)XN10101Zn由前边的计算已知求(1)样本容量n(2)设欲使1000.05,0.50.1n应取多大？(1)由前边的计算已知1100()nzz1010()zzn即101010.1Zn(2)样本容量的选取虽然当样本容量n固定时,我们不能同时控制犯两类错误的概率,但可以适当选取n的值,使犯取伪错误的概率控制在预先给定的限度内.在检验均值时样本容量n满足如下公式：11()/nzz单边检验211()/nzz双边检验其中表示0||一个正态总体（方差已知）由前边的计算已知1100()nzz1010()zzn即所以1110()||zzn1100()nzz1010()zzn即例6袋装味精由自动生产线包装，每袋标准重量500g,标准差为25g.质检员在同一天生产的味精中任抽100袋检验，平均袋重495g.②在①的检验中犯取伪错误的概①在显著性水平下，该0.05天的产品能否投放市场？率是多少？（设的真值为495）③若同时控制犯两类错误的概率，使都小于5%,样本容量,?n解①设每袋重量2~(500,25)XN049550021.9625/100UH0:500；H1:500故该天的产品不能投放市场.落在拒绝域内200.97511.96/XUzzn拒绝域②2211()()1zz52/25/100n04955005(0.04)(3.96)1211.96z1(0.04)0.484此概率表明：有48.4%的可能性将包装不合格的认为是合格的.故③由于是双边检验，故025.18255645.196.1325n211()/nzz所以当样本容量取325以上时,犯两类错误的概率都不超过5%.贝叶斯公式的密度函数形式111(,,|)()(|,,)(,,|)()nnnpxxxxpxxd贝叶斯统计的一切推断都基于后验分布进行贝叶斯估计基于后验分布(x1,x2,…,xn)对所作的贝叶斯估计有多种，常用有如下两种：使用后验分布的均值作为的点估计，称为后验矩（期望）估计。使用后验分布的密度函数最大值作为的点估计，称为后验极（最）大似然估计；区间估计121ˆˆ(|,,)1nPXX若则称是的贝叶斯意义下置信水平为的区间估计。12ˆˆ[,]1习题2某厂生产小型马达,说明书上写着:这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过0.8安培.现随机抽取16台马达试验,求得平均消耗电流为0.92安培,消耗电流的标准差为0.32安培.假设马达所消耗的电流服从正态分布,取显著性水平为=0.05,问根据这个样本,能否否定厂方的断言?解根据题意待检假设可设为H0:0.8；H1:0.8未知,故选检验统计量:~(15)/16XTtS查表得t0.05(15)=1.753,故拒绝域为0.81.753/xsn0.320.81.7530.944x现0.920.94x故接受原假设,即不能否定厂方断言.解二H0:0.8；H1:0.8选用统计量:~(15)/16XTtS查表得t0.05(15)=1.753,故拒绝域0.81.753/xsn0.320.81.7530.664x现0.920.66x故接受原假设,即否定厂方断言.由例1可见:对问题的提法不同(把哪个假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.上述两种解法的立场不同，因此得到不同的结论.第一种假设是不轻易否定厂方的结论；第二种假设是不轻易相信厂方的结论.