创新设计2014高三数学三轮复习-考前体系通关训练倒数第2天《附加题必做部分》

倒数第2天附加题必做部分[保温特训]1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝6，M是CC1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求二面角B­AM­C的平面角的大小．(1)证明以点C为原点，CB、CA、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C－xyz，如图所示，则B(1,0,0)，A(0，3，0)，A1(0，3，6)，M0，0，62.所以A1B→＝(1，－3，－6)，AM→＝0，－3，62.因为A1B→·AM→＝1×0＋(－3)×(－3)＋(－6)×62＝0，所以A1B⊥AM.(2)解因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC.因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥平面AMC.所以CB→是平面AMC的一个法向量，CB→＝(1,0,0)．设n＝(x，y，z)是平面BAM的一个法向量，BA→＝(－1，3，0)，BM→＝－1，0，62.由n·BA→＝0，n·BM→＝0，得－x＋3y＝0，－x＋62z＝0，令z＝2，得x＝6，y＝2.所以n＝(6，2，2)因为|CB→|＝1，|n|＝23，所以cos〈CB→，n〉＝CB→·n|CB→||n|＝22，因此二面角B­AM­C的大小为45°.2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且EB＝FB＝1.(1)求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值；(2)试在面A1B1C1D1上确定一点G，使DG⊥平面D1EF.解(1)以D为原点，DA→，DC→，DD1→分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0，0,0)，D1(0,0,2)，C1(0,4,2)，E(3,3,0)，F(2，4,0)，于是EC1→＝(－3,1,2)，FD1→＝(－2，－4,2)．设EC1与FD1所成角为α，则cosα＝EC1→·FD1→|EC1→||FD1→|＝－3×－2＋1×－4＋2×2－32＋12＋22－22＋－42＋22＝2114.∴异面直线EC1与FD1所成角的余弦值为2114.(2)因点G在平面A1B1C1D1上，故可设G(x，y,2)．DG→＝(x，y,2)，FD1→＝(－2，－4，2)，EF→＝(－1,1,0)．由DG→·FD1→＝0，DG→·EF→＝0得－2x－4y＋4＝0，－x＋y＝0，解得x＝23，y＝23.故当点G在面A1B1C1D1上，且到A1D1，C1D1距离均为23时，DG⊥D1EF.3．某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，47.(1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？(2)若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望．解(1)先安排参加单打的队员有A23种方法，再安排参加双打的队员有C12种方法，所以，高一年级代表队出场共有A23C12＝12种不同的阵容．(2)ξ的取值可能是0,2,3,4,5,7.P(ξ＝0)＝64343，P(ξ＝2)＝96343，P(ξ＝3)＝48343，P(ξ＝4)＝36343，P(ξ＝5)＝72343，P(ξ＝7)＝27343.ξ的概率分布列为ξ023457P643439634348343363437234327343所以E(ξ)＝0×64343＋2×96343＋3×48343＋4×36343＋5×72343＋7×27343＝3.4．设m，n∈N*，f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋x)n.(1)当m＝n＝2011时，记f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2011x2011，求a0－a1＋a2－…－a2011；(2)若f(x)展开式中x的系数是20，则当m，n变化时，试求x2系数的最小值．解(1)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2011＝(1－2)2011＋(1－1)2011＝－1.(2)因为2C1m＋C1n＝2m＋n＝20，所以n＝20－2m，则x2的系数为22C2m＋C2n＝4×mm－12＋nn－12＝2m2－2m＋12(20－2m)(19－2m)＝4m2－41m＋190.所以当m＝5，n＝10时，f(x)展开式中x2的系数最小，最小值为85.5．已知数列{an}满足：a1＝12，an＋1＝2anan＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明：不等式0＜an＜an＋1对于任意n∈N*都成立．(1)解由题意，得a2＝23，a3＝45.(2)证明①当n＝1时，由(1)知0＜a1＜a2，不等式成立．②设当n＝k(k∈N*)时，0＜ak＜ak＋1成立，则当n＝k＋1时，由归纳假设，知ak＋1＞0.而ak＋2－ak＋1＝2ak＋1ak＋1＋1－2akak＋1＝2ak＋1ak＋1－2akak＋1＋1ak＋1＋1ak＋1＝2ak＋1－akak＋1＋1ak＋1＞0，所以0＜ak＋1＜ak＋2，即当n＝k＋1时，不等式成立．由①②，得不等式0＜an＜an＋1对于任意n∈N*成立．[知识排查]1．求异面直线所成角一般可以通过在异面直线上选取两个非零向量，通过求这两个向量的夹角得出异面直线所成角，特别注意的异面直线所成角的范围，所以一定要注意最后计算的结果应该取正值．2．二面角的计算可以采用平面的法向量间的夹角来实现，进而转化为对平面法向量的求解．最后要注意法向量如果同向的话，其夹角就是二面角平面角的补角，异向的话就是二面角的平面角．3．用平面的法向量和直线的方向向量来证明空间几何问题，简单快捷．解题的关键是先定与问题相关的平面及其法向量．如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量．4．解决概率问题，关键要能分清楚概型，正确使用好排列、组合工具，列出随机变量ξ的所有取值并求出相应的概率P(ξ)，列出分布列，尤其要揭示问题中的隐含条件，灵活运用“正难则反”的思考方法．5．求离散型随机变量的分布列首先要明确随机变量取哪些值，然后求取每一个值得概率，最后列成表格形式．6.要注意区别“二项式系数”与二项式展开式中“某项的系数”7．在解决与系数有关的问题时，常用“赋值法”，这种方法是一种重要的数学思想方法．8．求二项式展开的某一项或者求满足某些条件、具备某些性质的项，其基本方法是利用二项式的通项公式分析讨论解之．9．有些数学问题，形式上极其类似二项式定理的展开式形式，因而我们要能扣住它的展开式各项特征，适当加以变化，进而构造出定理的相应结构，达到解决问题之目的．10．数学归纳法解题的基本步骤：(1)明确首取值n0并验证真假．(必不可少)(2)“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．(3)分析“n＝k＋1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．(4)明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．11．数学归纳法解题时要注意，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．