部分分式展开法

1部分分式展开法若F(s)为的s有理分式，则可表示为式中，ai(i=0,1,2,...,n-1)、bi(i=0,1,2,...,m)均为实数。若m≥n，则B(s)/A(s)为假分式。若mn，则B(s)/A(s)为真分式。若F(s)为假分式，可用多项式除法将F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和，即式中，ci(i=0,1,2,...,n-1)为实数。N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函数及其一阶到阶m-n导数之和。D(s)/A(s)为有理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。例如，则f(t)=￡-1[F(s)]=若F(s)=B(s)/A(s)为有理真分式，可直接展开为部分分式后求逆变换。要把F(s)展开为部分分式，必须先求出A(s)=0的根。因为A(s)为s的n次多项式，所以A(s)=0有n个根si(i=1,2,...n)。si可能为单根，也可能为重根；可能为实根，也可能为复根。si又称为F(s)的极点。F(s)展开为部分分式的具体情况取决于的上述性质。本书附录A中介绍了关于有理真分式的部分是展开法，下面将应用部分分式展开法求拉普拉斯逆变换的几种情况归纳如下：2F(s)仅有单极点若A(s)=0仅有n个单根，则根据附录A中式(A-2)，无论si是实根还是复根，都可将F(s)展开为(1)式中，各部分分式项的系数Ki为(2)由于故F(s)单边拉普拉斯逆变换可表示为f(t)=-1[F(s)]=(3)一，单极点的情况【例1】已知，求F(s)的单边拉氏逆变换（原函数）f(t)。解F(s)的分母多项式A(s)=0的两个根分别为s1=-2,s2=-3。因此，F(s)的部分分式展开为由式(4.3-2)求K1和K2，得:3所以，3223)(sssF于是得f(t)=￡-1[F(s)]=(3e-2t-2e-3t)ε(t)二，重极点的情况【例2】已知，求的单边拉氏逆变换。解F(s)有二重极点s=-1和单极点s=-3。因此，F(s)可展开为由式(4.3-5)和式(4.3-2)得：4于是得根据式(4.3-4)和式(4.3-6)可得f(t)=￡-1[F(s)]=(te-t+e-t-e-3t)ε(t)再看一般情况1121)1(111121111)()()()()(pskpskpskpskpssAkkkkk求k11，方法同第一种情况：11)()()(1111pskpssFpssFk求其它系数，用下式kisFdsdikpsiii,3,2,1)()!1(111111注意：k次重根，要设k项当11212,()spdiKFsds当12131213,()2spdiKFsds【例3】已知31()(2)(1)Fsss，求其逆变换。解：2)1()1()1()1)(2(121132123113sKsKsKsKss1)2(12111211211sssdssdKK52212112213sdssdK1)1(1232ssK)()(2)()(21)(22tuetuetutetuettftttt三，复数极点的情况[例4]已知，求F(s)的单边拉斯逆变换f(t)。解F(s)可以表示为F(s)有一对共轭单极点s1,2=-2±j2，可展开为根据式(4.3-2)求K1、K2,得:于是得6根据式(4.3-7)和式(4.3-8)，,,α=2,β=2。于是得f(t)=￡-1[F(s)]=运行结果：F=2*exp(-2*t)*cos(2*t)+2*exp(-2*t)*sin(2*t)