初一数学竞赛系列讲座(8)解一次方程(组)与一次不等式(组)

初一数学竞赛系列讲座(8)解一次方程（组）与一次不等式（组）第1页共9页初一数学竞赛系列讲座(8)解一次方程（组）与一次不等式（组）一、一、知识要点1、一元一次方程方程中或者不含分母，或者分母中不含未知数，将它们经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式ax=b(a≠0)，它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，我们把这一类方程叫做一元一次方程。解一元一次方程的一般步骤是：分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1。2、方程ax=b(a、b为常数)的解的情形当a≠0时，方程ax=b有唯一解abx当a=0，b=0时，方程ax=b有无数多个解，即方程的解为任何有理数。当a=0，b≠0时，方程ax=b无解。3、一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法”4、不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。定理：若整系数不定方程ax+by=c(a、b互质)有一组整数解为x0，y0，则此方程的全部整数解可表示为：)k(00为任意整数这里kayykbxx5、一次不等式（组）只含一个未知数，而且未知数的最高次数是1的不等式称为一元一次不等式，它的一般形式是axb或axb(a≠0)，任何一个一元一次不等式总可以通过去分母，去括号，移项，合并同类项化为一般形式，解不等式的根据是不等式的同解原理。6、不等式的基本性质和同解原理不等式的基本性质(1)(1)反身性如果ab，那么ba(2)(2)传递性如果ab，bc，那么ac(3)(3)平移性如果ab，那么a+cb+c(4)(4)伸缩性如果ab，c0，那么acbc如果ab，c0，那么acbc不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。二、二、例题精讲初一数学竞赛系列讲座(8)解一次方程（组）与一次不等式（组）第2页共9页例1解方程1211213113xxxx分析：按常规去括号整理后再解，显然较繁，通过观察发现方程中只含有(x+1)、(x-1)项，因而可将(x+1)、(x-1)看作整体，先进行移项合并，则能化繁为简。解：移项，得1311212113xxxx合并，得137127xx去括号，移项，可解得x=-5评注：本题是整体处理思想的应用。例2解关于x的方程mxnxm413解：原方程整理得：(4m-3)x=4mn-3m故当4m-3≠0时，即343443mmmnxm时，当4m-3=0时，即，时，方程为493043nxm此时，若理数，故方程的解为任何有，则方程为0043xn若，显然方程无解，43n综上所述，当343443mmmnxm时，；当数时，方程解为任何有理43,43nm；当时，方程无解。43,43nm评注：含参方程必须对参数进行讨论。初一数学竞赛系列讲座(8)解一次方程（组）与一次不等式（组）第3页共9页例3解方程组(1)(2)5434(1)432zyxzyx(2)(3)201633(2)143163(1)103316zyxzyxzyx分析：第一个方程组的(1)式是一个连比式，对于连比式常用连比设k法来解决。第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比较繁，观察这个方程组的特点，将三式相加可得x+y+z，然后再用三式去分别减可得x、y、z的值。解：(1)设kzkykxkzyx4,3,2432，则，代入(2)得k=5∴x=10，y=15，z=20∴原方程组的解为201510zyx(2)(1)+(2)+(3)得22(x+y+z)=44，所以x+y+z=2所以3(x+y+z)=6(4)(1)-(4)得13x=4，则x=134(2)-(4)得13y=8，则y=138(3)-(4)得13z=14，则z=1314所以原方程组的解为1314138134zyx评注：解方程组时，应对方程组的整体结构进行分析，从整体上把握解题方向。例4已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解。你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗？分析1：将已知方程按a整理得(x+y-2)a=x-2y-5，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值无关，所以只须a的系数x+y-2=0即可。解法1：将方程按a整理得：(x+y-2)a=x-2y-5，∵这个关于a的方程有无穷多个解，所以有1305202yxyxyx，解得初一数学竞赛系列讲座(8)解一次方程（组）与一次不等式（组）第4页共9页由于x、y的值与a的取值无关，所以对于任何的a值，方程组有公共解13yx分析2：分别取a=1和-2得方程3y+3=0和-3x+9=0，因a取不同的值，所得方程有一个公共解，所以这个公共解就是方程组093033xy的解。解法2：令a=1，得：3y+3=0令a=-2，得：-3x+9=0解方程组093033xy得13yx，则13yx就是所求的公共解。将x=3，y=-1代入(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0得：3(a-1)-(a+2)+5-2a=0整理得0•a=0，说明无论a取什么值，方程总是成立。评注：本题两种解法，第一种是将已知方程整理成关于a的形式，通过解与a无关，得出关于x、y的方程组，从而求出公共解。第二种是先探求公共解，再证明这个解与a无关。这两种解法的思路正好相反。例5求不定方程4x+y=3xy的一切整数解解：由原方程得：4341433343yyyxyyx，则∵x是整数，∴3y-4=±1，±2，±4，由此得y=032138235，，，，，取整数解y=2，1，0，对应的x=1，-1，0所以方程的整数解为001121yxyxyx，，评注：本题是用数的整除性来求不定方程的整数解。例6求方程123x+57y=531的全部正整数解解：方程两边同除以3得：41x+19y=177所以1936291941177xxxy∵x、y是整数，∴1936x也是整数，取x=2得y=5∴方程123x+57y=531的整数解为：)(k415192为任意整数kykx初一数学竞赛系列讲座(8)解一次方程（组）与一次不等式（组）第5页共9页由0415k192-04150192kkk即得：因此方程123x+57y=531只有一组整数解52yx评注：本题是通过先探求一个特解，由特解写出通解，再由通解求出整数解，这是求不定方程整数解的一般步骤。例7小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。小明套10次共得61分。问：小鸡至少被套中几次？(第四届华杯赛初赛试题)分析：设出未知数，列出不定方程，然后求不定方程的正整数解。解：设套中小鸡x次，套中小猴y次，套中小狗z次,根据题意得1061259zyxzyx我们求这个方程组的正整数解。消去z得：7x+3y=41，于是3741xy则x741，从而x的值只能是1，2，3，4，5322133741xxxy由于y是整数，所以2-x必须是3的倍数，∴x=2，5当x=2时，y=9，z=-1不是正整数；当x=5时，y=2，z=3是本题的解。答：小鸡至少被套中5次。例8解不等式：(1)(2x+1)2-7(x+m)2+3x(x-1)(2)1324xx解：(1)原不等式可化为：(7-2m)xm2+6∴当m27即7-2m0时，解为xmm2762当m27即7-2m0时，解为xmm2762当m=27即7-2m=0，m2+6=4118时，解为一切实数。初一数学竞赛系列讲座(8)解一次方程（组）与一次不等式（组）第6页共9页(2)4;423;23234324xxxxxx分为三段：的取值范围零点分段法，可把，由和的零点分别是与当x23时，原不等式可化为-x+4+2x-3≤1，解得x≤0当423x时，原不等式可化为-x+4-2x+3≤1，解得x≥2所以，原不等式的解为2≤x≤4当x4时，原不等式可化为x-4-2x+3≤1，解得x≥-2所以，原不等式的解为x4综上所述，原不等式的解集为x≤0或x≥2评注：1、解含参不等式，一定要注意讨论未知数的系数，分大于0、小于0、等于0三种情况讨论。2、解含绝对值的不等式，常用零点分段法将绝对值去掉再求解。例9已知m、n为实数，若不等式(2m-n)x+3m-4n0的解集为94x，求不等式(m-4n)x+2m-3n0的解。解：由(2m-n)x+3m-4n0得：(2m-n)x4n-3m，因为它的解集为94x，所以有(2)94234(1)02nmmnnm由(2)得mn87代入(1)得m0把mn87代入(m-4n)x+2m-3n0得8525mxm∵m0∴41x所以，不等式(m-4n)x+2m-3n0的解集为41x评注：本题的关键是确定未知数x的系数，从而才能求出不等式的解。方法是首先求出m、n的关系，再代入确定未知数x的系数。例10已知关于x的方程：17834xmx，当m为某些负整数时，方程的解为负整初一数学竞赛系列讲座(8)解一次方程（组）与一次不等式（组）第7页共9页数，试求负整数m的最大值。解：原方程化简整理得：12141214xmmx，可得因为m为负整数，所以x214必为小于-1的负整数所以4154211214xxx，即，而要使x214为负整数，x必是21的倍数，所以x的最大值为-21因为当x取最大值时，m也取得最大值，所以m的最大值为-3三、三、巩固练习选择题1、方程2001200220013221xxx的解是()A、2000B、2001C、2002D、20032、关于x的方程15332kxkx的解是负数，则k的值为()A、k21B、k21C、k=21D、以上解答都不是3、已知xyz≠0，且032053zyxzyx，则222222232zyxzyx的值为()A、2367B、6723C、-6723D、以上答案都不对4、方程组1987111yx的整数解的个数是()A、0B、3C、5D、以上结论都不对。5、如果关于x的不等式51232axaax与同解，则a()A、不存在B、等于-3C、等于52D、大于526、若正数x、y、z满足不等式组初一数学竞赛系列讲座(8)解一次方程（组）与一次不等式（组）第8页共9页yzxyxzyxzyxz4112535232611则x、y、z的大小关系是()A、xyzB、yzxC、zxyD、不能确定填空题7、方程01113cbacbaxbacxacbx其中的解为8、关于x的方程2a(x+5)=3x+1无解，则a=9、关于x、y的两个方程组7222yxbyax和113953yxbyax有相同的解，则a=，b=10、不定方程4x+7y=20的整数解是11、不等式23