初一暑假竞赛班第五讲高斯函数

高斯函数一、基础知识（一）概念对任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，称[x]为高斯函数或取整函数。对任意实数x，{x}＝x－[x]，称为x的小数部分。若x＝n＋，n为整数，0≤＜1，则[x]＝n，{x}＝，x＝[x]＋{x}。（二）性质1．（1）[x]≤x＜[x]＋1；（2）x－1＜[x]≤x；（3）0≤{x}＜1。2．（1）[n＋x]＝n＋[x]，n为整数；（2）[x]＋[y]≤[x＋y]；（3）{x}＋{y}≥{x＋y}；（4）若x≥0，y≥0，则[xy]≥[x][y]。3．若[x]＝[y]，则x－y＜1。4．是整数时不是整数时xxxxx15．若a，b是两整数，且b＞0，则babbaba。二、例题例1(1)[0.03]=(2)[-2.5]=(3)[10.25]=(4)[-7+2.7]=(5)1001[]17=(6)1219[]18=例2已知M＝111122320082009，求[M]．例3如果[x]＝3，[y]＝1，[z]＝1，求[x＋y－z]的值．例4设m，n都是正整数，请问1，2，3，…，m中共有多少个数是n的倍数？例5求10123100101233101232101231的值。例6解下列方程：（1）[x]－2＝0；（2）2x－[x]＝165．例7设x为任意实数，求证：xxx221。推广：设x为任意实数，n为正整数，则nxnnxnxnxx121。例8解方程：[x3]＋[x2]＋[x]＝{x}－1；例9r满足19202191...100100100100rrrr=546．求[100r]的解．例10求方程[][2][4][8][16][32]12345xxxxxx的解．例11求19811198121981200819812009...2009200920092009的和．例12对于任何正整数n和实数x，证明：nxnx。例13已知数列{}na满足1111,nnnaaaa，求100[]a．例14在项数为2009的数列222122009[],[],[]200920092009中有多少个不同的整数？例15设199302x，求证：219922319931222[][][][][]2222xxxxx三、练习1．已知M＝200220011321211，求[M]。2．如果[x]＝3，[y]＝0，[z]＝1，求[x＋y－z]的值。3．求出所有的正整数使得[][][][]692345nnnn，其中[]x表示不超过x的最大整数值。4．解方程：[x]2－[x－4]－6＝0。