全域基函数计算半波阵子天线的电流分布

第38卷第5期电子科技大学学报Vol.38No.52015年6月JournalofUniversityofElectronicScienceandTechnologyofChinaVol.2015基于矩量法的半波阵子天线电流分布王馨，王秉中(电子科技大学物理电子学院中国四川省成都市610054)【摘要】：本文主要用矩量法来求解半波阵子天线的电流分布。采用全域基函数和点匹配法，给出了Pocklington电场积分方程求解delta缝隙馈电的半波阵子天线电流分布的计算方法，并将用此方法的计算的结果与解析解比较，二者吻合较好，说明本文方法的正确性。关键词矩量法;阵子天线;电流分布;Pocklington电场积分方程中图分类号TM344.1文献标识码ACurrentDistributiononaDipoleAntennaComputedBasedonMethodofMomentXin-Wang,Bing-ZhongWANGUniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,Chengdu,610054AbstractThispapercomputedcurrentdistributiononadipoleantennausingmethodofmoment.UsingTheglobalbasisfunctionsandpointmatchingmethodfortesting,weobtainedtheformulationtosolvecurrentdistributionona0.5λdipoleantennawhichfedbydelta-gapsourceusingpocklington’sequation.Andthecomparisonwithanalyticalsolutionprovidesprooftotheaccuracyofourmethodinthispaper.Keywordsmethodofmoment;dipoleantenna;currentdistribution;Pocklingtonelectricfieldintegralequation收稿日期：20070721；修回日期：20080315基金项目：部省级以上基金或项目名称(编号)1；部省级以上基金或项目名称(编号)2作者简介：王馨（1990-），男，硕士研究生，主要从事光学全系扫描方面的研究.第38卷第5期电子科技大学学报Vol.38No.52015年6月JournalofUniversityofElectronicScienceandTechnologyofChinaVol.2015在电磁场中，分析天线的方法大致可以分为3类：第一类是严格的解析法，其优点是可以得到精确的结果；第二类是数值法，此方法与解析法相比普适性强，用的范围广，但是基于数据量大以及计算量大而受计算机的硬件条件限制大；第三类是半解析半数值法，而这种方法恰巧结合了前两中方法的优点而发展起来的。矩量法就是一种常用的半解析半数值方法。矩量法是一种将连续方程离散化为代数方程组的方法，主要用于求解积分方程。通过求解这一组代数方程组来得到原问题的解。本文就是采用全域基函数和点匹配的方法来求解Pocklington电场积分方程来计算delta缝隙馈电的半波阵子天线的电流分布。与解析解的比较表明，本文方法可行。1矩量法的基本原理：1.1：矩量法的基本概念：在求解电场场活天线问题时，遇到的积分方程或微分方程都可以写成一下形式的非齐次方程：gfL)(（1）其中，L是线性算子，g是已知函数，f是待求的未知函数。在电磁场问题中，L通常是积分算子或微分算子，g是激励源或入射场，f是待求的电荷或电流（在本文中就是电流分布）。现将f展开为无穷个基函数的组合：1nnnfaf（2）其中，na为待定系数，nf是基函数。由于计算机本身的缺陷，无法处理无穷的情况。因此式（2）近似表达如下：Nnnnfaf1（3）由于L是线性算子，将方程（3）代入（1）中，得到：gfaNnnn1（4）显然，其余量为：)(1nNnnfLagR（5）为了让余量更小，本文引入权函数mf，并对方程（5）两边进行加权求内积并取零。得到如下：0)(,1NnnnmfLagf（6）其中，内积的定义为：rdrdrfrfffnmfnfmnm)(*)(,（7）将式（6）两边展开，权函数分别对激励和已知的基函数求内积：gffLfamNnnmn,)(,1（8）该方程包含N个方程，可写成矩阵形式bZa，其中阻抗矩阵为：)(,nmmnfLfz（9）右边激励项b可以表示为：gfbmm,（10）最后，通过求解以上方程组以上方程组就可以得到系数矩阵a的值，在通过a就可以得到待求量。1.2矩量法中的权函数：在矩量法中权函数的选择应满足：解得精度高，矩阵元素mnz易于计算，矩阵Z规模小和形态良好。一般权函数有一下两种选择。其一是点匹配法即权函数)()(rrfm，改方法无需计算作用在权函数上的内积运算，故容易实施，计算效率高；但是点匹配的边界条件只在离散点处处理满足的方程，解域内的其他店存在误差，所以这种方法的精度稍低。基于计算的简单，本文就采取的点匹配法。其二是Galerkin法，它指的是权函数和基函数完全相同即nmff此方法的优点在于精度较高，但是实施起来较繁琐，计算效率低。1.3矩量法中的基函数：在矩量法中基函数有两类基函数。其中一类是全域基函数，它是指定义在整个求解域上的基函数，此电子科技大学学报第**卷方法的优点在于计算量小，但是适用范围很窄。另一类是分域基函数，它是指定义在求解域的子域上的基函数，常用的有脉冲基函数，分段三角基函数，分段正弦基函数等。而本文主要采用的是全域基函数。2Pocklington电场积分方程的求解细线问题的Pocklington电场积分方程表示如下：zdrekzzIzEjjkrLLiz4)()(2222/2/（11）其中，22)(zzar表示场点和源点之间的距离。由前面介绍的矩量法的基本原理，选择合适基函数)(zfn和权函数)(zfm时，方程（11）的阻抗矩阵可表示成如下：dzzdrekzzfzfzjkrfnfmmnnm4)()(222（12）而激励项可表示为：dzzEzfjbizfmmm)()(（13）将方程式（11）右边的偏微分项展开得到如下：22222522)()32)(1(44zzrkarjkrrerezjkrjkr（14）并将式（14）代入式（11）可得：zdzzFzIjzELLiz),()(4)(2/2/（15）其中，场点位于细导线表面，源点位于轴线上，且222225)32)(1(),(arkarjkrrezzFjkr（16）现在，本文选取全域基和点匹配的方法求解此问题，且细线天线上的电流用全域基余弦函数展开即：])12cos[()(Lznzfn（17）则所得到的矩阵阻抗元素为：zdLznzzFzLLmmn])12cos[(),(2/2/（18）且激励项元素为：)(mizmzEb（19）3矩量法计算半波阵子天线电流分布半波阵子天线的模型如下图所示：2azzEL图1.半波阵子天线模型图其中，5.0L,且波长m1，天线的半径为104/La。用矩量法求解半波阵子天线的电流分布，当取不同的步长计算阻抗矩阵，从而得到图2,3的结果-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.2500.10.20.30.40.50.60.70.80.91偶极子天线Jz分布z(m)归一化电流计算解解析解图2.划分3个网格时计算的阻抗矩阵对应的半波阵子的电流分布第**期杨瑜等基于频域有限差分法的金属矩形波导色散特性研究-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.2500.10.20.30.40.50.60.70.80.91偶极子天线Jz分布z(m)归一化电流计算解解析解图3.划分5个网格时计算的阻抗矩阵对应的半波阵子的电流分布对半波阵子划分3个网格时，通过计算阻抗矩阵从而来确定全域基函数对应的系数，从而得到半波阵子天线的电流分布的表达式。在通过101个取样点画出半波阵子天线的电流分步。其结果如图2所示，与解析解[2]的比较可以看出，计算误差还是比较大。当把半波阵子天线划分5个网格时，其相应的计算结果如图3所示，我们可以看出其与解析解的吻合度相当高，相对于划分为3个网格时，效果得到了明显的改善。此时就可以认为这个结果是精确的。4结论本文详细的推导了Pocklington电场积分方程在选用全域基函数和delta点匹配法时的求解过程。采用了矩量法计算了delta缝隙馈电的半波阵子天线电流分布，并通过在不同网格数下矩量法的计算结果与解析解的比较，证明了本文方法的可行性。参考文献[1]WaltonC.Gibson.TheMethodofMomentsinElectromagnetics[M].TaylorFrancisGroup,2008.[2]WarrenL.Stutzman,andGaryA.Thiele.AntennaTheoryandDesign(SecondEdition)[M].Wiley,2006.[3]任玉杰.数值分析及其matlab实现.北京：高等教育出版社，2008[4]王秉中,邵维.计算电磁学.北京:科学出版社，2002.[5]杨先华,章文勋.全域基矩量法的一种快速算法多点.电子科学学刊，1992第38卷第5期电子科技大学学报Vol.38No.52015年6月JournalofUniversityofElectronicScienceandTechnologyofChinaVol.2015附录：matlab程序：functiony=f(x,y,a,k)r=sqrt((x-y).^2+a^2);y=(-1./r.^3-1j*k./r.^2+3*(x-y).^2./r.^5+k^2./r+3*1j*k*(x-y).^2./r.^4-k^2*(x-y).^2./r.^3).*exp(-1j*k*r);%矩量法（MOM）求解半波阵子天线电流分布%波克林顿电场积分方程%全域基函数+点匹配%delta缝隙激励clc;clear;closeall;%基本参数设置c=3*10^8;epslong=1/(36*pi)*10^(-9);miu=4*pi*10^(-7);lamda=1;omiga=2*pi*c/lamda;k=omiga*sqrt(epslong*miu);L=0.5*lamda;a=L/104;xishu=j/(4*pi*omiga*epslong);%半波阵子天线的网格划分Nz=5;dz=L/Nz;Ez_in=zeros(Nz,1);b=zeros(Nz,1);z=-L/2+dz/2:dz:L/2-dz/2;%电压激励项，且只在缝隙处才有电场V=1;Ez_in((Nz+1)/2)=V/dz;b(1:Nz)=Ez_in(1:Nz);%自适应数值积分，阻抗矩阵h1的计算form=1:Nzforn=1:Nzx=z(m);y1=@(y)f(x,y,a,k).*cos((2.*n-1)*pi*y./L);y2=quad(y1,-L/2,L/2);h1(m,n)=xishu*y2;endend%h1的LU分解forp=1:Nz;h(p)=det(h1(1:p,1:p));endh2=h(1:Nz);fori=1:Nzifh(1,i)==0disph2;returnendendifh2(1,i)~=0forj=1:NzU(1,j)=h1(1,j);endfork=2:Nzfori=2:Nzforj=2:NzL1(1,1)=1;L1(i,i)