全概率公式.

概率论第五节全概率公式主要内容：1）全概率公式2）贝叶斯公式重点：全概率公式的应用,BeyesTheorem概率论有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.解记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，123其中A1、A2、A3两两互斥看一个例子:三、全概率公式概率论将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对求和中的每一项运用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)31iiiABPAPBP)()()(｜代入数据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到即B=A1B+A2B+A3B，且A1B、A2B、A3B两两互斥概率论,,,,nBBBES21的样本空间为随机试验设,如果满足的一组事件是EjiBBji12SBBBn21,,,,,,,nnBBBBBB2121或称为完全事件系则称.的一个划分为S:注意,,,,为样本空间的一个划分若nBBB21,事件组则对每次试验,,,中必有且仅有nBBB21一个事件发生..,分割成若干个互斥事件的划分是将可见SS复习概率论1定理,SE的样本空间为设试验nBBB,,,21,,则对且的一个划分为n,,,iBPSi210,恒有样本空间中的任一事件AniiiB|APBPAP1证明因为ASAnBBBA21nABABAB21并且,,所以jiABABjinABPABPABPAP21nnB|APBPB|APBP11niiiB|APBP1概率论niiiB|APBPAP1.全概率公式件是把一个未知的复杂事全概率公式的基本思想,而这些简单单事件再求解分解为若干个已知的简,使得某个未知事件事件组事件组成一个互不相容故在至少一个同时发生与这组互不相容事件中,A,S的关键是要找到一个合适应用此全概率公式时.的一个划分概率论某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，则A发生的概率是每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解概率论由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.B1B2B3B4B5B6B7B8A诸Bi是原因B是结果概率论例甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.设A={飞机被击落}Bi={飞机被i人击中},i=1,2,3由全概率公式则A=B1A+B2A+B3A解依题意，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)概率论可求得为求P(Bi),设Hi={飞机被第i人击中},i=1,2,3将数据代入计算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.1123123123PBPHHHHHHHHH2123123123PBPHHHHHHHHH3123PBPHHH概率论P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.于是概率论该球取自哪号箱的可能性最大?这一类问题是“已知结果求原因”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:四、贝叶斯公式看一个例子:概率论接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式概率论有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?概率论某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.)()()|(11BPBAPBAP记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}求P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(｜运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式1231红4白?概率论njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(｜｜ni,,,21贝叶斯公式定理2,,,21为样本空间的设nAAA,0,,则恒有且中的任一事件为一个划分BPB概率论证明：()()()iiPABPBAPA1()()()()iinjjjPABPBPABPB(1,2,,)in证毕。1)该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出。它是说明：发生的每个原因的概率。在观察到事件已发生的条件下，寻找导致BB贝叶斯公式的思想就是“执果溯因”。全概率公式的思想是“由因推果”。概率论贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.概率论例某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则表示“抽查的人不患癌症”.CCC已知P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:设C={抽查的人患有癌症}，A={试验结果是阳性}，求P(C|A).2.ExamplesfortheBeyesTheorem概率论现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得)|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得P(C｜A)=0.10662.检出阳性是否一定患有癌症?1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？概率论如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(C｜A)=0.1066P(C)=0.005概率论试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为P(C｜A)=0.10662.即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.概率论P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的验前概率和验后概率.概率论3,211个白乙盒装有个黑球个白球甲盒装有例.14,2采取掷一骰个黑球个白球丙盒装有个黑球球　点选乙盒、点选甲盒或、出现子决定选盒,54,321,,,6经过秘一个球在选出的盒里随机摸出点选丙盒,,求此球来自乙宣布摸得一个白球密选盒摸球后.盒的概率解,1摸出的球来自甲盒设A,2摸出的球来自乙盒A,3摸出的球来自丙盒A,摸得白球B概率论则,61,31,21321APAPAP.54|,53|,31|321ABPABPABP白球来自乙盒的概率为于是由贝叶斯公式可知31222|||iiiABPAPABPAPBAP5461533131215331.52概率论例2某人到武汉参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0.2，0.1，0.3，0.4。如果他乘火车、轮船、汽车前去，迟到的概率分别为1/3，1/12和1/4，乘飞机不会迟到。结果他迟到了，求他乘汽车去的概率？概率论解：设A“迟到”，1B“乘火车”，2B“乘轮船”，3B“乘汽车”，4B“乘飞机”，由贝叶斯公式，有根据题意，有1()0.2PB2()0.1PB3()0.3PB4()0.4PB11()3PAB21()12PAB31()4PAB4()0PAB概率论33341()()()()()jjjPABPBPBAPABPB10.341110.20.10.300.431240.0750.50.15概率论例3教材（例2~3）P27-P28通过该例题，同学们要理解先验概率，和后验概率，以及一个事件A的发生对于先验概率的影响。概率论这一讲我们介绍了全概率公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们.五、小结概率论六、布置作业《概率统计》标准化作业(一)