初三数学复习几何论证题中辅助线的添加方法

1DABCEFMNABCDEFM初三数学复习——几何论证题中辅助线的添加方法（一）辅助线的添加方法正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法：方法一：从已知出发作出辅助线：例1．已知：在△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=FC21分析：题设中含有D是BC中点，E是AD中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：（1）过D点作DN∥CA，交BF于N，可得N为BF中点，由中位线定理得DN=FC21，再证△AEF≌△DEN，则有AF=DN，进而有AF=FC21（2）过D点作DM∥BF，交AC于M，可得FM=CM，FM=AF，则有AF=FC21方法二：分析结论，作出辅助线例2：如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，求证：AB·AC=AE·AD分析：要证AB·AC=AE·AD，需证ACAEADAB（或ACADAEAB），需证△ABE∽△ADC（或△ABD∽△AEC），这就需要连结BE（或CE），形成所需要的三角形，同时得∠ABE=∠ADC=900(或∠ADB=∠ACE=900)又∠E=∠C（或∠B=∠E）因而得证。2ABDCEABCDEO·ABCDE12·O方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线例3：过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E；求证：AE∶ED=2AF∶FB分析：已知D是BC中点，那么在三角形中可过中点作平行线得中位线；若要出现结论中的AE∶ED，则应有一条与EF平行的直线。所以，过D点作DM∥EF交AB于M，可得FMAFFMAFEDAE22，再证BF=2FM即可。方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线：（1）有弦，作“垂直于弦的直径”例4：已知，如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD分析：过O点作OE⊥AB于E，则AE=BE，CE=DE，即可证得AC=BD（2）有直径，构成直径上的圆周角（直角）例5：已知：如图，以△ABC的AC边为直径，作⊙O交BC、BA于D、E两点，且DECD，求证：∠B=∠C分析：连结AD，由于AC为直径，则有AD⊥BC，又DECD，有∠1=∠2，由内角和定理得∠B=∠C3ABCDO123·ABCOABCDO·E（3）见切线，连半径，证垂直例6：如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB分析：连结OC，由于CD为切线，可知OC⊥CD，易证：∠1=∠2，又因为∠2=∠3，所以∠1=∠3，则可得AC平分∠DAB（4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径”例7：已知，直线AB经过⊙O上的一点，并且OA=OB，CA=CB；求证：直线AB是⊙O的切线分析：连结OC，要证AB是⊙O的切线，需证OC⊥AB，由已知可证△OAC≌△OBC，可得∠OCA=∠OCB=900，结论得证。例8：已知，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=900，BC是⊙O的直径，BC=CD+AB，求证：AD是⊙O的切线分析：过O点作OE⊥AD，垂足为E，要证AD是⊙O的切线，只要证OE是⊙O的半径即可，也就是说需要证OE=BC21，由于∠A=900，AB∥CD，可得AB∥CD∥OE，再由平行线等分线段定理得DE=EA，进而由梯形中位线定理得OE=BCCDAB21)(21，所以E点在⊙O上，AD是⊙O的切线。4（二）练习1、已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC．求证：DE∥BC，DE＝21BC．2、已知：如图27.3.12所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．求证：EF∥BC，EF＝21（AD＋BC）．3、已知：如图27.3.13所示,在△ABC中.AD=DB,BE=EC,AF=FC.求证：AE、DF互相平分。EDACB54、如图：已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，M为AC上一点，AM的延长线交DC的延长线于F，求证：∠AMD=∠FMC5、如图：正方形ABCD中，E、F分别AB、BC的中点，AF和DE交于点P求证：CP=CDPFECABD