初三根与系数的关系

★★★★★星星只不过是距离遥远的石头……一元二次方程的根与系数的关系【问题1】若一元二次方程x2+10x+16=0的两根是x1、x2，则x1+x2=____；x1•x2=_______.【问题2】关于x的方程10422kxx的一个根是－2，则方程的另一根是；k＝。【问题3】甲乙同时解方程2x+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根为3﹑-10。则p=，q=。【问题4】以-3和5为根的一元二次方程是。自主演练巩固新知1.方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____．2.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．3.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．4.关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（）A．1B．C．－D．±5.若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（）A．1B．2C．1或2D．0实际问题与一元二次方程★列一元二次方程解决实际问题【例题分析】【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？【分析】设每个支干长出x个小分支。则主干上长出x个分支，x个分支上共长出x2个小分支。主干、支干和小分支的总数可用代数式1+x+x2表示。依题意可列方程：1+x+x2=91【例2】一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所行的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数。【分析】设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为（6-x），则原两位数为10（6-x）+x，新两位数为10x+(6-x)。依题意可列方程：[10（6-x）+x][10x+(6-x)]=1008{x1=2x2=4}【例3】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?【分析】（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]333★★★★★星星只不过是距离遥远的石头……（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过1000040=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10x-50）]=8000解得：x1=80，x2=60当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg250kg，满足题意．当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg250kg，（舍去）．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。★如何解决增长率与降低率问题？【问题】某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为5000（1+x）元，12月份的营业额为5000（1+x）（1+x）元，即5000（1+x）2元。由此就可列方程：5000（1+x）2=7200【例1】两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?【分析】⑴甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元)乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)乙种药品成本的年平均下降额较大。但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。⑵若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为元。⑶对甲种药品而言根据等量关系列方程为：解这个方程得：甲种药品成本的年平均下降率为。⑷同样的方法尝试计算乙种药品的平均下降率，并比较哪种药品成本的平均下降率较大。【说明】经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格。若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有：bxan)1(（常见n=2）。★★★★★星星只不过是距离遥远的石头……★面积法建立一元二次方程的数学模型【例1】如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？【分析】若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路），则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(32-4x)(20-6x)m，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，则可列方程：203243)620)(432(xx【例2】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？【分析】因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：（1）设渠深为xm则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m依题意，得：12（x+2+x+0.4）x=1.6整理，得：5x2+6x-8=0解得：x1=45=0.8m，x2=-2（舍）∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．（2）1.675048=25天基本知识训练1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【C】A．B．C．D．2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为x(x＋10)＝200，化为一般形式为x2+10x-200=0。3、已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【B】A．1B．﹣1C．0D．无法确定4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为2000（1+x）2=2420，此方程适宜用直接开平方法解。5、用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是【A】A．（x﹣1）2=4B．（x+1）2=4C．（x﹣1）2=16D．（x+1）2=166、若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【B】A．B．C．D．7、下列一元二次方程两实数根和为-4的是【D】A．x2+2x-4=0B．x2-4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x-5=02210xx20axbxc(1)(2)1xx223250xxyy022mxx1-m1m4m21m★★★★★星星只不过是距离遥远的石头……8、已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则nm11-35。【例1】用适当的方法解下列方程：⑴x2﹣4x+2=0⑵(1)(1)2(3)8xxx⑶1222xxx解：⑴x=22；⑵x1=1，x2=-3；⑶x=52。【例2】已知x是一元二次方程x2+2x-8＝0的根，求代数式)252(6332xxxxx的值．解：∵)252(6332xxxxx=29)2(332xxxxx=)3)(3(2)2(33xxxxxx=)3(31xx又∵x2+2x-8＝0，∴x1＝-4，x2＝2，但当x＝2时原式无意义，故当x＝-4时原式=)3(31xx=121【例3】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m-1＝0的两个实数根分别为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若2(x1+x2)+x1x2+10=0，求m的值.解：（1）∵原方程有两个实数根，∴⊿=9-4(m-1)≥0，解之得：413m.（2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=-3，x1x2=m-1，∴2×(-3)+(m-1)+10=0解之得：m=-3.★★★★★星星只不过是距离遥远的石头……一元二次方程单元测试题（一）一、填空题（每题2分，共计12分）1.把方程（2x+6）2=-7化成一元二次方程的一般形式为_____________，其中二次项系数为_____________，一次项系数为_____________，常数项为_____________.2.已知关于x的二次方程4x2+4kx+k2=0的一个根是-2，那么k=__________________.3.若分式12322xxx的值为0，则x的值是________________.4.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，则x2+bx+c分解因式的结果为___________________.5.如果关于x的一元二次方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是________________.6.已知关于x的方程x2-（a＋b)x＋ab-2=0.x1、x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论：（1）x1≠x2;（2）x1x2＞ab;(3)x12＋x22＞a2＋b2.则正确结论的序号是________________.（在横线上填上所有正确结论的序号）二、选择题（每题5分，共计20分）xkb1.com7.方程x2+3x-6=0与x2-6x+3=0所有根的乘积等于（）A.-18B.18C.-3D.38.以1，-2为根的一元二次方程是（）A.x2+x-2=0B.x2-x+2=0C.x2-x-2=0D.x2+x+2=09.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（）A.9B.11C.13D.11或1310.某钢厂今年1月份生产某种钢2000吨，3月份生产这种钢2420吨，设2、3月份两个月平均每月增长的百分率为x，则可列方程为（）A.2000（1+2x）=2420B.2000（1+x2）=2420C.2000（1+x）2=2420D.2420（1-x）2=2000三、解答题11.不解方程判断根的情况.（每题3分，共计9分）（1）x2-2x-4=0;（2）2x2+4x+2=0;（3）21x2-x+2=0.12.解下列方程（每题5分，共计15分）（1）3x2+x-2=0;（2）4（x-3）2=25;（3）x2+6x-10=0(配方法).13.（10分）已知x1，x2是方程3x2+5x-1=0的两个根，求下列各式的值.（1）x12x2+x22x1;（2）21xx+12xx.★★★★★星星只不过是距离遥远的石头……14.列方程解实际问题（16分）（1）在一块长为30m，宽为24m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路,其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53m2，那么小路的