初三知识点总结

21一元二次方程知识点总结1、一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。2、一元二次方程的一般形式为02cbxax（a，b，c是已知数，0a）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。3、直接开平方法解一元二次方程若02aax，则x叫做a的平方根，表示为ax，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。（1）02aax的解是ax；（2）02nnmx的解是mnx；（3）0,02cmcnmx且的解是mncx4、配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1）在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；（2）把原方程变为nmx2的形式。（3）若0n，用直接开平方法求出x的值，若n﹤0，原方程无解。用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为1,002aacbxax时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2)移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为nmx2的形式；5、一元二次方程的求根公式一元二次方程002acbxax的求根公式是：aacbbx242，用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为002acbxax的形式，确定的值cba.,（注意符号）；（2）求出acb42的值；（3）若042acb，则.,ba把及acb42的值代人求根公式aacbbx242，求出21,xx。一元二次方程根的判别式一元二次方程002acbxax根的判别式△=acb42运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：（1）△=acb42﹥0方程有两个不相等的实数根；（2）△=acb42=0方程有两个相等的实数根；（3）△=acb42﹤0方程没有实数根；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定cba.,的值；③计算acb42的值；④根据acb42的符号判定方程根的情况。6、因式分解法解一元二次方程如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。7、一元二次方程的根与系数的关系若21,xx是一元二次方程002acbxax的两个根，则有abxx21，abxx218、列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。关键点：找出题中的等量关系。（一）增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率x为，则一次增长后的值为xa1，两次增长后的值为21xa；（2）若基数为a，降低率x为，则一次降低后的值为xa1，两次降低后的值为21xa。（二）与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：每件利润=销售价-成本价；总利润=单件利润*销售件数22二次函数知识点一、二次函数的概念形如cbxaxy2（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中x，是自变量，abc、、分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二、二次函数的一般表达式1、一般式：cbxaxy2（a，b，c为常数，0a）；2、顶点式：khxay2)(（a，h，k为常数，0a）其中2424bacbhkaa，；3、双根式21212()()(0,,=)yaxxxxaxxaxbxcx其中是y与轴交点的横坐标三、二次函数2yaxbxc的图像性质(轴对称图形)1.当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba．2.当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba．四、二次函数的图像与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a，总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧．⑵在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：3.常数项c总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．五、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况.图像与x轴的交点个数：①当240bac时，图像与x轴交于两点1200AxBx，，，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根．12xx，和的一半恰好是对称轴的横坐标.②当0时，图像与x轴只有一个交点；③当0时，图像与x轴没有交点.1'当0a时，图像落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2'当0a时，图像落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．2.抛物线2yaxbxc的图像与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图像与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；⑶根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax223旋转知识点知识点1:旋转的定义及其有关概念在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P经过旋转到点P,那么这两个点叫做这个旋转的对应点.如图1,线段AB绕点O顺时针转动090得到BA,这就是旋转,点O就是旋转中心,AAOBBO,都是旋转角.说明:旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向.知识点2:旋转的性质由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质：.1任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.2对应点到旋转中心的距离相等.3对应线段相等，对应角相等.3:旋转作图1.明确作图的条件:(1)已知旋转中心;(2)已知旋转方向与旋转角.2.理解作图的依据:(1)旋转的定义:在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转;(2)旋转的性质:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.3.掌握作图的步骤:(1)分析题目要求,找出旋转中心、旋转角；（2）分析图形，找出构成图形的关键点；（3）沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找出各个关键点知识点4中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一图形重合那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，点叫对称中心，其性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。中心对称的两个图形是全等形。中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫中心对称图形，如菱形，圆等。知识点5两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x,y）关于原点的对称点为（-x,-y）24圆的知识点1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD2、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOBDOE；②ABDE；③OCOF；④弧BA弧BD3、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴2AOBACBOBABA图1OEDCBAOCDABFEDCBAOCBAODCBAO2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角∴CD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙O中，∵AB是直径或∵90C∴90C∴AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半