小学、初中、高中各科资料汇总第1页共8页有任何资料需要,请QQ联系:1030087757初三竞赛培训试题7.不定方程A卷1.若00yyxx是二元一次不定方程ax+by=c(其中(a、b)=1)的一组整数解,则ax+by=c的所有整数解为____________。2.方程6x+22y=90的非负整数解为___________。3.方程9x+24y–5z=1000的整数解为___________。4.方程组)2(100533)1(100zyxzyx的非负整数解为______________。5.方程(x–a)(x–8)–1=0有两个整数根,则a的值是___________。6.方程0652xyx的整数解为___________。7.方程xy–10(x+y)=1的整数解为_____________。8.满足xy0且xyyx7733的整数x=__________,整数y=_____________。9.不定方程8822yx的整数解是____________。10.(1)方程zxy1的质数解是__________;(2)方程azyx111(其中a是整数x、y、z互不相等)的正整数解是___________;(3)方程2009yx的整数解是____________。(4)方程625.202222dcba的整数解是____________。小学、初中、高中各科资料汇总第2页共8页有任何资料需要,请QQ联系:1030087757B卷1.不定方程22222bacba的所有整数解是____________。2.对于正整数a和b,方程babayxyx的所有正整数解是_____________。3.方程22225)36(6ncba的所有整数解是____________。4.方程组1979206222zyxzyx的所有正整数解是____________。5.方程1092478322yxyxyx的整数解是____________。6.方程0355273yxxyx的不同正整数解),,(,),,(),,(2211nnyxyxyx中nxxxx321=_____________。7.写出方程199821199821xxxxxx的一组正整数解___________。8.被11除后的商等于被除数中各数字的平方和,试写出所有这样的三位数___________。9.若1+2+3+…+k之和为一完全平方数2N,并且N小于100,则K的可能值是___________。10.两个凸多边形1P与2P边数不同,1P的每个内角为x度,2P的每个内角为kx度,其中k是大于1的整数,那么可能的数对(x、k)有______个。答案A卷1.atyybtxx00t=0,±1,±2,……2.34,015yxyx3.令9x+24y=3t,即3x+8y=t,于是3t–5z=1000。于是原方程化为)2(100053)1(83zttyx分别求出(1)(2)的所有整数解,消去t得vzvuvuyvux31000),(530001586000为整数小学、初中、高中各科资料汇总第3页共8页有任何资料需要,请QQ联系:10300877574.由(2)得x+9y+15z=300(3)由(3)-(1)得4y+7z=100。从而易知4y+7z=100的一切整数解为tzty41274将此代入(1)得x=100–(z+y)=84–3t故原方程组的整数解为tzttytx412)4)((74384为整数解不等式组04120740384ttt得374t,故t=0,1,2,3。将t的取值代入(4)得,02575,41878,81181,12484zyxzyxzyxzyx5.将原方程化为(x–a)(x–8)=1。因为原方程有整数根,所以x必为整数,故181xax或181xax解之得8911ax或8722ax∴a=86.∵x=0不是方程的解,所以原方程可化为xxy65∵x、y均为整数,所以x6应为整数,所以x只能取±1,±2,±3,±6。从而可求出y可能是±1,±7,±13,±29。故原方程的解为296,133,72,1144332211yxyxyxyx7.将原方程化为(y–10)(x–10)=101=101×1=(-101)×(-1),所以原方程可化为四个方程组,10110110,11010110,10110110,11010110yxyxyxyx解得;919;991;11111;1111144332211yxyxyxyx8.将原方程化为)(7))((22yxyxyxyx∵xy,∴x–y≠0,∴,722yxyx即,0)(,37)(22yxxyyx∴7–3xy0,则37xy∴xy=1或2。再由xy0知x=2,y=1。9.显然正整数x、y满足方程时,必有xy0。∴x+yx–y0。又x+y与x–y有相同的奇偶性,由原方程(x–y)(x+y)=88,右边为偶数,从而x+y与x–y均为偶数,又x+y,x–y是88的因数,因此有小学、初中、高中各科资料汇总第4页共8页有任何资料需要,请QQ联系:103008775742yxyx或224yxyx由此可解得2123yx或913yx10.(1)易知x=2,y=2,z=5是原方程的解,下面说明原方程仅有这一个解。若x=2时,y为奇数,设y=2m+1(m为自然数),所以zm1212,而3|)12(2m,所以z为合数,这与z是质数矛盾。若x为奇数,则),1(|2yx故2|y,所以z=2,这不可能,所以原方程仅有x=2,y=2,z=5这一组解;(2)因为x、y、z互不相等,故不妨设xyz,则x≥1,y≥1,z≥3,所以2212111111zyx,于是a=1。又因为xzyxx31111即xx311,所以1x3。故x=2。再由方程2111zy可推得yzyy2111即yy2211,故2y4。所以y=3。于是21131z,故z=6;因此,方程的正整数解为x=2,y=3,z=6。(3)因为2009=4172,而41是质数,故要求x、y,即求方程4174141ba的解(其中a,b是正整数),即a+b=7。所以可取a=2,5,1,6,3,4;与a相对应的b=5,2,6,1,4,3。于是可求得原方程的解为:,369656,656369,411476,147641,1641025,1025164665544332211yxyxyxyxyxyx(4)已知可得,25625,202a显然a5,若a≤3,则b≤2,c≤1,d≤0,从而625.20222222220123dcba故可求得b=2,c=-1,d=-3,于是可求得a=4。B卷1.首先对c进行奇偶性分析:(1)c=0时,方程化为,2222baba即1)1)(1(22ba由于12a与12b都是小学、初中、高中各科资料汇总第5页共8页有任何资料需要,请QQ联系:10300877571的约数,所以1111,11112222baba以上方程组只能解出a=b=0,于是,方程有一组解a=b=c=0。(2)c为奇数时,再对a,b进行奇偶性分析。(i)若a和b同为奇数,则222,,cba都是4k+1型,于是222cba为4k+3型,而22ba为4k+1型,等式不能成立,方程无解;(ii)若a,b同为偶数,此时方程左边=222cba为奇数,左边=22ba为偶数,方程无解;(iii)若a和b为一奇一偶,此时方程左边为4k+2型,右边为4k时,方程无解。(3)C为偶数时,仍对a和b进行奇偶性分析:(i)若a和b同为奇数,则方程左边为4k+2型,右边为奇数,方程无解;(ii)若a和b为一奇一偶,则方程左边为奇数,右边为偶数,方程无解;(iii)若a,b同为偶数,这时,方程两边均为4k型,需要再细致分析:设rcbatnm2,2,2,其中m,n,t为非负整数,r,,为奇数。则方程化为22222222222222nmtnmr当t最小时,方程两边约去t22,得tnmtntmr222222222222222显然,方程左边为奇数,右边为偶数,方程无解;当m最小时,方程两边约去m22得2222222222222nmtmnr。同样,方程左边为奇数,右边为偶数,方程无解;当n最小时,同样可得方程无解。综上讨论,方程22222bacba只有一组整数解a=0,b=0,c=0。2.已知方程可化为)(bbaxyxy则ax是y的约数,设y=uxa,则)(bbaaxyxux,)1(bbabbbbabuxxxuxu则bx是u的约数,设vxub,则有1,122bbbabbbbabvxvuxxv于是v应是1的约数,必有v=1,所以22bbabx。即x=2,ab–b+b2=1,从而b=1,a=1,y=4。于是方程仅当a=b=1时,有一组正整数解x=2,y=4。3.显然,a=b=c=n=0是方程22225)36(6ncba(1)的一组解。为求(1)的整数解,只须求出它的正整数解即可,而对于正整数解,只要求出a,b,c,n互小学、初中、高中各科资料汇总第6页共8页有任何资料需要,请QQ联系:1030087757质的解即可,为此设(a,b,c,n)=1。由方程(1)可知,6是5n2的约数,因为6与5互质,所以6是n2的约数,从而6是n的约数,进一步5n2有约数36,因此6又是6a2+3b2+c2的约数,即6是3b2+c2的约数,所以3是c2的约数,故可设n=6m,c=3d,代入(1)得2a2+b2+3d2=10m2(2)b2+3d2=10m2-2a2所以b和d具有相同的奇偶性。(1)若b和d同为奇数,考察用8除以(2)式两边所得的余数:式(2)左边被8除的余数为2+1+3=6或0+1+3+4;式(2)右边被8除的余数为0或2。此时方程(2)无解,从而方程(1)无解。(2)b和d同为偶数,由a,b,d,n互质可知,a为奇数,(2)式左边被8除的余数为2+(0或4)+(0或3)≠8,所以(2)的左边不能被8整除,从而(2)的右边10m2不能被8整除,m一定为奇数;这样可设,12,2,2,121111mmddbbaa其中a1,b1,d1,m1都是正整数,则方程(2)化为2a1(a1-1)-10m1(m1-1)-2=-(21213db)10m1(m1-1)-2a1(a1-1)+2=21213db(3)由于m1(m1-1)及a1(a1-1)为偶数,则(3)式左边为偶数,且被4除余2,而右边b1和d1不能同为偶数,否则(3)式右边能被(4)整除,(3)式不能成立,然而b1和d1同为奇偶时,(3)式右边仍能被4整除,(3)式不能成立,于是,方程(2)无解,从而方程(1)无解。综上讨论知,方程只有一组解a=b=c=m=0。4.注解到不等式)(2)(222zyzy有),1979(2)(2)206()(22222xzyxzy于是2226319782)1979(2)206(xx从而–636x–2063