八2013年本科数学fourier分析多分辨第二次课Mallat算法

国防科学技术大学教案课程名称：小波分析及应用任课单位：理学院数学与系统科学系计算数学教研室授课对象：2011级数学专业本科生主讲教员：成礼智教授授课时间：2013年秋季学期Mallat算法国防科技大学理学院2013年秋季学期-2-课程名称Fourier分析与小波总计：36学时课程类别选修学分2讲课：30学时自主学习：6学时任课教师成礼智职称教授授课对象2010级数学专业本科生选修课程教材和基本参考资料1．成礼智，王红霞，罗永，小波的理论与应用，科学出版社，20042．G.Strang,TQNguyen,WaveletsandFilterBanks,WelleseleyMA:Welleseley-CambridgePresss,1996，3.S.Mallat,IntroductiontoWavelets,SIAM2002教学目的任务本课程是数学专业选修专业课。本课程以泛函分析与矩阵分析为基础，主要介绍Fourier变换与小波分析的基础理论,小波分析的典型应用.本课程的教学目的是在较短的学时内，提供数学专业本科生所需要的基本的小波分析基础知识知应用能力，使学生在掌握基本理论的基础上能够应用于解决实际问题.内容课时分配章内容学时数1傅里叶分析与预备知识82Haar小波分析43多分辨分析与小波构造124提升格式小波与整数变换65小波的典型应用8教研室意见教研室主任签名年月日教案续页教学基本内容备注小波分析多分辨分析第二次课教案课程内容：Mallat算法的数学与滤波器思想、算法的实现描述本次课重点：Mallat算法的实现难点：从滤波器设计角度分析Mallat算法复习：（1）双尺度方程定理1假设};{ZnVn为一个具有尺度函数的正交多分辨分析，则下列尺度关系式成立：)2()(kxhxZkk，其中dxkxxhk)2()(2并且有)2()2(21kxhlxjZklkj或等价地表示为,22()()2jilkljkkZxhx，其中2()2(2)jjjkxxk。（2）尺度函数系数之间的简单关系定理2假设};{ZnVn为一个具有尺度函数()x的正交多分辨分析，则下列等式成立：（1）022lkZklkhh；（2）2||2Zkkh；（3）2Zkkh；(4)2211,1kkkZkZhh（3）利用尺度函数系数建立小波函数定理3(S.Mallat)设))(};;({tZmVm是一个正交MRA，则存在2}{lhk使得下面的双尺度方程kkkxhx)2()(成立，并且，利用尺度函数)(x构造的函数)2()(kxgxkk其伸缩、平移构成)(2RL的正交基，其中kkkhg1)1(。()x称之为小波函数。上述三个定理表明，寻找小波的关键就是要求出系数{}kh。而今天讨论的主要问题是从系数{}kh出发，如何实现信号的分解（将信号的低频与高频分离）。-4-（4）信号处理中滤波运算基本概念数学形式是卷积运算，高通（低通）滤波运算是通过对输入信号计算卷积使其输出信息分别为信号的高频（低频）部分，例如上面的图形表示一个信号经过高通（低通）滤波运算后输出信息分别为信号的高（低）频部分。新课内容Mallat算法推导一、信号分解与重构的基本思想多分辨分析理论为人们讨论信号的局部信息提供了一个相当直观的框架。这一点在非平稳信号中的作用尤其重要，因为非平稳信号的频率随时间而变化，这种变化可以分为慢变和快变两部分。慢变部分对应于非平稳信号的低频部分，代表信号的主要轮廓；而快变部分对应于信号的高频信息，表示的是信号的细节。上述结论对于图像而言仍然成立，即任何一幅图像都可以分解为两部分：低频（主体信息）和高频（细节纹理）。为了将信息的缓变（低频）与快变（高频）部分分开处理，Mallt系统提出了信号的塔式多分辨分解与重构的著名算法，俗称Mallat算法。一般认为，Mallat算法在小波分析中的地位类似于FFT在经典傅立叶分析中的地位。Mallat算法的基本思想可以归纳如下：设fHj为能量有限信号)(2RLf在分辨率j2（对应空间jV）下的近似。近似的依据：2lim()jjVLR则fHj可以进一步分解为f在分辨率12j下的低频分量fHj1（通过低通滤波器得到），以及位于分辨率12j与j2之间的高频分量（细节）fDj1（通过高通滤波器得到）之和，其分解过程如下图所示：fHj高频分解（细节）低频分解fDj1fHj1fHj2fDj2fHkjfDkj信号不同频率分解图下面讨论实施上述分解过程的具体表达式，为此，首先证明一个引理。低通通高通通221lkalkalkb引理1双尺度方程中系数}{},{kkgh可以通过内积mjnjnmmjnjnmgh,,12,,122,2（1）来计算。证明利用双尺度方程得到lljnlljnljkjkjjjnjxhlxhknxhnxx)(22)2(222))2(2(2222)2(2)(,222121121,1（2）上式两端分别用函数)(,xmj作内积并利用尺度函数的正交性lnmjlj,,,,，得到mjnjnmh,,12,2。利用双尺度方程同理得到式（1）的第二个等式成立。引理1的物理意义：jV中的基函数,jm分别投影到子空间1jV与1jW后的低频与高频分量可以通过系数{}lh与{}lg来度量，即双尺度方程中的系数分别相当于低通与高通滤波器系数。设与分别为尺度与小波函数，则信号f在分辨率12j下近似fHj1和细节fDj1分别假设为kkjjkjjjkjkxdxfDkxaxfH)2()(),2()(111111（3）上式中1jka与1jkd分别为分辨率12j下粗糙系数与细节系数。而分辨率j2下信号f的近似fHj可以直接表示为fDfHfHjjj11（4）其中，,()()jjkjkkHfxax。设与分别为尺度与小波函数，则信号f在分辨率12j下近似fHj1和细节fDj1分别假设为kkjjkjjjkjkxdxfDkxaxfH)2()(),2()(111111（3）上式中1jka与1jkd分别为分辨率12j下粗糙系数与细节系数。而分辨率j2下信号f的近似fHj可以直接表示为fDfHfHjjj11（4）其中，,()()jjkjkkHfxax。下面讨论信号的分解问题，首先说明几个问题。（1）已知jfV，在数学上一般指知道关于信号f所有点的信息，而存在基函数的情形下，已知jfV与已知信号f在基函数,jk上的投影分量信息,,jkf是等价的，并且在有限维向量空间，如最简单的三维Euclidean空间中，向量通常用其分量来表达。因此，在小波理论中基于小-6-波变换的信号分解，讨论如何将jfV分解到子空间1jV与1jW其本质是讨论如何用分量信息,,jkf来表示信号f在1jV中的分量1,,jlf以及信号f在1jW中的分量1,,jlf，即要找到系数{}jkc与{}jkd使得1,,,1,,,,,,,,jjjlkljkjlkljkkkfcffdf成立。二、基于Mallat算法的信号分解与重构1、信号分解设jVf，将（4）表示为kjZkkjkjZkkjkjkkjffff,1,1,1,1,,,,,(5)为了将空间jV中的信息分解到子空间1jV与1jW中去，分别由},{,1ljf决定空间1jV，},{,1kjf决定空间1jW，因此对式（5）实施相应的内积运算并利用引理1的结论得到：ZkjklkljZkjklkljfgffhf,22,,22,2,12,1（6）式（6）给出了信号的分解格式。利用结论2以及（6）我们可以得到一个具有非常广泛意义的信号分解公式。设22,,2,()(),2,()2jjjjkjkkjkjkafxdxfdfxdx讲其代入（6）并利用引理1得到下面的信号分解公式：1122,jjjjlkkllkklkZkZaahddg（7）2、信号的重构在式（5）中分别取jkf并利用引理1有21,21,22()()()22jkkljlkljllZlZxhxgx(8)上式本质上为信号分解的逆形式。为了利用分解后的信息},{,1ljf与},{,1kjf重构空间jV的相关信息，利用式（8）作内积得到重构公式ljZllkljZllkjkfgfhf,12,12,22,22,.(9)由于（9）式中系数1jka与1jkd满足kjjjkkjjjkfdfa,1211,1211,2,,2，（注：此处省去归一化因子()xdx），则称1jka为逼近系数以及1jkd为细节系数。（9）所描述的信号重构公式又可以通过系数形式来表达：ZljllkjlZllkjkdgaha1212（10）3、信号分解与重构算法总结分解：ZkjklkkjlZkjklkjlahdaha21121)1(（11）重构：ZljllkkjlZllkjkdhaha12112)1(（12）信号重构可以用如下流程图来表示：fHkjfHkj1fDkjfHkj2fHj1fDkj1fDkj2fDj1fHj合成信号重构流程图总之，尺度函数生成的正交多分辨分析（MRA）的主要内容可以总结如下：（1）尺度函数空间jV的基函数：Zkjjjkkx)}2(2{2尺度函数：12,2()(2)(2)(2)2()()2kkZjjklkZjilkljkkZxhxkxlhxkxhx（2）小波空间11221211)(,jjjjjjjjjjjjj（3）小波11221,()(1)(2)(2)(2)2()()2kkkjjklkjlkljkkxhxkxlgxkxgx（4）正交基jWjV)(2RLZkkj}{,1ZkkjZkkj}{}{,1,1Zkjkj,,}{Zkjk}{（5）分解过程-8-内积形式：1,21,22,,22,,2jlkljkkZjlkljkkZfhffgf系数形式：1212jjlklkkZjjlklkkZahadga其中1111()(2)(2)(2)jjjjjjkkkkZkZkZfxaxkaxkdxk（6）重构过程内积形式：ljZllkljZllkjkfgfhf,12,12,22,22,系数形式：ZljllkjlZllkjkdgaha1212信号分解与重构公式的一点说明：信号分解与信号重构中的系数矩阵恰好为共轭转置关系，下面将讨论其矩阵形式。四、矩阵分解与重构的矩阵表示现在讨论Mallat算法的矩阵表示。引入无穷矩阵knnkhC,2][，knnkgG,2][，则分解过程表示为11,,,1,,1,0jjjjACADGAjJJ而信号重构的矩阵表示为，11**jjjDGACA，其中*表示