初中与高中数学衔接中的二次问题

1初中与高中数学衔接中的二次问题大连理工大学附属高级中学金钟植一元二次方程和二次函数是初中数学中比较重要的知识块，而到高中数学也是非常重要的两个内容。但根据现在的初中和高中课程标准下编写的教科书中，一元二次方程、二次函数部分的衔接上还是存在着问题，本节根据目前高中数学中所需要的有关知识和能力点（初中涉及还不充分或不涉及到的）进行加强或补充。同时由于一元二次不等式解法在这里提前介绍，目的是为了更好地解决集合相关的问题和函数的相关问题。一、一元二次方程（一）韦达定理初中教材中这部分和高中数学要求比较，主要是没讲“一元二次方程的根和系数的关系”，也叫“韦达定理”。韦达定理：设12,xx为方程20(0)axbxca的两个实根，则1212,bcxxxxaa证明：略说明：（1）韦达定理成立的条件并不是方程必须有实数根，换个角度说，方程的两根的和与积是实数时，并不能保证对应的方程有实数根。比如：虽然根据韦达定理知，方程210xx的两根之和与之积都是实数1，但这个方程没有实根。（2）韦达定理主要解决的问题是：不解方程的前提下，解决与方程两根相关的问题。例1已知,是方程22410xx的两根，不解方程，求下列各式的值：（1）11；（2）22；（3）；（4）33分析：要根据题设要求不解方程求各式的值，只需将各式经过恒等变形转化为,的和与积的结构。解：由题设及韦达定理得，12,2，所以（1）112412（2）22221()222()52（3）22()()42124()62（4）3322()()221()[()3]2[23()]112评注：在利用韦达定理求与两根相关式子的值时，经过恒等变形把待求值的式子变形为含有两根之和与之积的结构，除了常规的变形（展开、通分、组合等）外，经常用到的变形是如下的两种恒等式：22222()2,()()4abababababab例2已知,是方程20(0)axbxca的两个实根，且:3:22求证：2625bac分析：从另一个角度看，韦达定理体现的是一元二次方程两根为解的二元二次方程组，而题设中又给出了两根的比例，所以可以经过消元的手段将两个根从由韦达定理得到的关于,的方程组中消去，进而得到我们需要证明的等式。证明：由韦达定理得，,bcaa又因为，:3:2，所以可设3,2,(0)mbmm所以32(3)(2)bmmacmma，即256bmacma，由此消去m得，26()5bcaa整理后得，2625bac评注：通过这个例题，不难看出，有些二元二次方程组可以利用韦达定理将解方程组的问题转化为解一元二次方程问题。看下面的一个例题。例3解方程32xyxy，分析：不难看出,xy是一元二次方程2320tt的两根，而这个方程的两个根为1,2所以这个方程组的解为11111,2,2;1.xxyy例4已知0ac，求证：方程20(0)axbxca的两个实根且两根异号分析：本题需要证明两个结论，首先证明方程有实根，即证其判别式为正，其次证明两根异号，即证两根之积为负。证明：因为204040acacbac，所以方程20(0)axbxca有两个不等实根12,xx；又因为1200cacxxa，所以两实根12,xx异号。综上所述，方程20(0)axbxca的两个实根且两根异号评注：这个例子不难看出，一元二次方程根的分布情况有关的问题，可以根据判别式和韦达定理来解决，具体的有关运用可到高中学习一元二次不等式以后查阅有关的资料。同步练习题1．已知,是方程2210xx的两根，不解方程，求下列各式的值：（1）；（2）22；（3）332．解方程组56xyxy（二）一元二次方程的解法高中数学中经常遇到解一元二次方程的问题，但不能只运用初中所学的方法。除了公式法，在高中阶段最常用的就是因式分解法，而因式分解的多种方法中，用途最大的是十字相乘法。例5解下列方程：（1）2320xx，（2）2210xx解：3（1）因为121112123，所以方程可化为(1)(2)0xx进而得到原方程的两根为：121,2xx（2）（1）因为211121211，所以方程可化为(21)(1)0xx进而得到原方程的两根为：1211,2xx（三）二次三项式因式分解公式从逆向思维的角度，只要能分解的二次三项式2(0)axbxca可先求相应的一元二次方程20(0)axbxca的两根12,xx，从而得到：212()()axbxcaxxxx。例6因式分解：221xx解：因为方程2210xx的两根为1212,12xx所以221(12)(12)xxxx同步练习题1．因式分解:242xx2．如果,是方程20(0)axbxca的两个正根，则2abc的符号是二、二次函数（一）二次函数不同结构的解析式在初中教材中，虽然介绍了二次函数不同结构的解析式，但并没有系统归纳。二次函数主要有以下三种结构的解析式：一般式：2(0)yaxbxca；顶点式：224()(0)24bacbyaxaaa，其中顶点坐标是24(,)24bacbaa，对称轴方程是2bxa；两根式：12()()(0)yaxxxxa，其中12,xx是20(0)axbxca的两实根。三种解析式各有特点：相对来说，一般式结构最简单，但函数图象的有些几何特征没有直接体现出来；顶点式结构的特殊性体现了图象比较明显的几何特征（顶点、对称轴），也便于运用题设中给出的几何特征较简单地求出函数解析式或能直接求函数的最值，但结构不是最简式；两根式突出了图象与x轴的交点坐标，便于研究与相应的一元二次方程根的特征（这种应用主要在高中数学中），但与前两种结构的解析式比较有局限性，即前两种结构的解析式可以表示任何二次函数，但两根式只能是在相应的方程有实根时才可用。例7已知二次函数2yaxbxc图象的最高点的坐标为(2,3)，且点(0,5)是图象与坐标轴的交点之一，求此函数的解析式。分析：根据所给题设不难看出，首先设所求函数解析式为顶点式，这样将求三个参数问题转化为求一个参数问题。解：由题设知，所求二次函数为解析式2(2)3yax，又因为函数图象经过点(0,5)所以543a，解得2a代入顶点式并整理得，所求函数解析式为：2285yxx（二）二次函数的最值问题在初中教材中也讨论了二次函数的最大值和最小值问题，但与高中数学中的要求相比较，还有些距离。主要体现在以下两个方面：第一方面是在二次函数的最值问题没有当作二次函数的重点之一来对待；第二方面是没有体现在自变量的范围限制情况下的二次函数的最值问题。下面根据高中数学所要求的角度，把二次函数最值相关的问题列举分析。4要求二次函数的最值，首先将函数解析式化成顶点式：224()24bacbyaxaa若0,a则当2bxa时，函数取最小值，即2min44acbya；若0,a则当2bxa时，函数取最大值，即2max44acbya需要说明的是：如果函数的自变量的取值范围内能取到2ba，则函数的最值还是二次函数本身的最值，但如果不能取到2ba，则根据二次函数的性质确定最值。例8已知函数223yxx，对下列各种条件，求这个函数的最小值。（1）x取任何实数；（2）2x；（3）23x；（4）30x解：2223(1)4yxxx，（1）因为x取任何实数，所以当1x时，函数取得最小值，且最小值为4；（2）因为2x，所以当1x时，函数取得最小值，且最小值为4；（3）因为23x，所以根据二次函数的性质（开口向上时，图象在对称轴的右侧随自变量的增大函数值增大），当2x时，函数取得最小值，最小值为3；（4）因为30x，所以根据二次函数的性质（开口向上时，图象在对称轴的左侧随自变量的增大函数值减小），当0x时，函数取得最小值，最小值为3评注：对（3）题和（4）题的条件来说，根据二次函数的性质，不难看出分别还有最大值0和12。等到高中进一步学习函数的有关知识以后，还要专门研究二次函数的最值问题。同步练习题1．对二次函数22414yxmxm，不论实数m取何值，顶点的横坐标和纵坐标中有一个坐标是常数，则这个常数是2．已知函数223yxx，对下列各种条件，求这个函数的最大值。（1）x取任何实数；（2）2x；（3）23x；（4）30x三、一元二次不等式及其解法画出函数24yxx的图像并经过图象研究不等式240xx和240xx的解。[总结归纳]上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式20axbxc或20(0)axbxca的解集：可分0,0,0三种情况来讨论.1.当0时，方程20axbxc的两个实根为1212,()xxxx则210(0),axbxcaxx或2xx2120(0)axbxcaxxx2.当0时，则20(0)axbxcaxR，且2bxa20(0)axbxcax3.当0时，则20(0)axbxcaxR520(0)axbxcax说明：1．对于一元二次不等式应该分判别式等于零，大于零，小于零三种情况进行讨论；2．对于二次项系数是负数（即a0）的不等式，只需将二次项系数化为正数，再求解．例9求下列不等式的解集：（1）2560xx；（2）260xx（3）240xx；（4）2230xx；（5）24410xx；（6）2230xx.（7）2(2)20xaxa例10已知关于x的一元二次不等式2110axaxa的解集为R，求a的取值范围.分析：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然有2(1)1yaxaxa的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有0a且0.答案:1(,)3a.注：本题若无“一元二次不等式”的条件，还应考虑0a的情况.同步练习:一选择题1．不等式20xx的解集是（）A.RB.{1}xxC.{1,}xx或x0D.{01}xx2．不等式210x的解集是（）A.{1,xx或x1}B.{1,xx或x1}C.{11}xxD.{11}xx3．若0a1,则不等式(x－a)(x－a1)0的解是()A.axa1B.a1xaC.xa1或xaD.xa1或xa二填空题4．不等式220xx的解集是5．不等式4+3x－2x2≥0的解集是6．已知不等式x2＋mx+n＞0的解集是{x｜x＜－1或x＞2}，则m=______,n=______.7．如果方程ax2＋bx＋b＝0中，a＜0，它的两根x1，x2满足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解集是______.