初中二年级历届“希望杯”二试解答题

1初中二年1-17届“希望杯”二试解答题1.1、从自然数354,,3,2,1中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177。1.2、平面上有两个边长相等的正方形ABCD和DCBA，且正方形DCBA的顶点A在正方形ABCD的中心。当正方形DCBA绕A转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值。这个结论对吗？证明你的判断。1.3、用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列4321nnnn，试求：21nn之值。2.1、已知两个正数的立方和是最小的质数，求证：这两个数之和不大于2。2.2、一块四边形的地（如图2.2所示）（KGOHFKEO//,//）内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的（即两边都是直线）。但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠以节省工时，那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明。DABOKEHFGC图2.223.1、若0,,,dcba，证明：在方程02212cdxbax，02212daxcbx，02212abxdcx，02212bcxadx中，至少有两个方程有不相等的实数根。3.2、（1）能否把1992,,3,2,1这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，…，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明。（2）把上题中的“分成八组”改为“分成四组”结论任何？请加以说明。如果能够，请给出一种分组法。4.1、如图4.1所示，三所学校分别记作CBA,,。体育场记作O，它是ABC的三条角平分线的交点。CBAO,.,每两地之间有直线道路相连。一支长跑队伍从体育场O点出发，跑遍各校再回到O点。指出哪条路线跑的距离最短（已知ABBCAC），并说明理由。ABCO图4.14.2、如果28181221a，求表达式142aaa的值。5.1、如图5.1，五边形ABCDE中，120,,BCDBAECDDEBCAEAB，180AEDABC，连接AD，求证：AD平分CDE。ABCED图5.135.2、如图5.2所示，甲、乙、丙三人分别从CBA,,出发，甲向C，乙、丙向A行进，过了712小时，甲与乙于M点相遇；又过了145小时，丙于N点追及乙；已知B点恰为CN,的中点，NM,之间的距离为710公里，又知甲比丙提前1小时到达目的地，问A与B，B与C之间各多少公里？ABC图5.26.1、（1）已知321,,aaa为三个整数，且321aaa，三个数中的每一个数均为其他两数的乘积，求所有满足条件的三数组),,(321aaa。（2）如果654321,,,,,aaaaaa为六个整数，且654321aaaaaa，六个数中的任一个数均为其他五个数中某四个数的乘积，那么满足上述条件的数组),,,,,(654321aaaaaa共有多少组？请说明理由。6.2、一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为GFEDCBA,,,,,,的风景点（如图6.2），现要开设一些公共汽车线路，满足以下条件：（a）由每个风景点可不换车到达其他任一风景点；（b）每条汽车线路只连结3个风景点；（c）任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点。（1）该旅游区应开设几条公共汽车线路？（2）若风景点A，B，C在一条线路上，则该公共汽车线路写成A—B—C。试写出该旅游区完整的公共汽车线路图。BFEKDCA图6.27.1、已知多项式cbxaxx23中，cba,,为常数，当1x时，多项式的值是1；4当2x时，多项式的值是2；若当x是8和5时，多项式的值分别为M与N，求NM的值。7.2、如图7.2，在直角AOB内有一点P，30,POAaOP，过P点作一直线MN与OBOA,分别相交于NM,，使MON的面积最小。（1）此时线段MN的位置是（）；（A）OPMN（B）ONOM（C）ONOM2（D）PNPM（2）此时MON的面积是；（3）若AOB为一锐角，P是锐角内一定点。过P点的直线与OBOA,交于NM,，使MON的面积最小，应怎样画出MN的位置（简述画法并保留画图痕迹），并证明你的结论。ONMPAB图7.28.1、已知cba,,为常数，且多项式cbxaxx23能够被432xx整除。（1）求ca4的值；（2）求cba22的值；（3）若cba,,为整数，且1ac，试确定cba,,的大小。8.2、如图8.2，已知FED,,分别是锐角ABC的三边ABCABC,,上的点，且CFBEAD,,相交于点P，6CPBPAP，设zPFyPExPD,,，若28zxyzxy，求xyz的大小。5PABCDEF图8.29.1、已知kn,均为自然数，且满足不等式116137knn。若对于某一给定的自然数n，只有唯一的一个自然数k使不等式成立，求所有符合要求的自然数中的最大数和最小数。9.2、甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数rqp,,，使rqp，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p，就是他这一轮分得的糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙得到10块糖，丙得到9块糖，又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和是18，问：rqp,,分别是哪三个正整数？为什么？10.1、求自然数对),(ba，同时满足条件：（1）120ba，（2）200)2(1503ba10.2、如图10.2，等腰梯形ABCD中，ABCD//，对角线BDAC,相交于O，60ACD，点QPS,,分别是BCOAOD,,的中点。（1）求证PQS是等边三角形；（2）若3,5CDAB，求PQS的面积；（3）若PQS的面积与AOD的面积的比是87：，求梯形上、下两底的比ABCD:。6ODABCSPQ图10.211.1、已知实数ba,满足条件1||abba，化简代数式2)1()11(baba，将结果表示成不含有字母b的形式。11.2、如图11.2正方形ABCD中，3AB，点FE,分别在CDBC,上，且30BAE，15DAF，求AEF的面积。11.3、将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中，每个盒子中只放入一个，（1）一共有多少种不同的放法？（2）若编号为1的球恰好放在了1号盒子中，共有多少种不同的放法？（3）若至少有一个球放入了同号的盒子中（即对号放入），共有多少种不同的放法？ABCDFE图11.212.1、6个排球队参加小组循环赛，取前4名参加第二阶段比赛，每赛一场，胜队得1分，负队不得分，且没有平局，结果有三个队并列第一名，一个队得第四名，他们得到了小组出线权，请写出各队得分的情况，并说明理由。712.2、从甲站到乙站共有800千米，开始400千米是平路，接着300千米是上坡路，余下的是下坡路，已知火车在上坡路、平路、下坡路上的速度的比是3∶4∶5。（1）若火车在平路上的速度是80千米/小时，那么它从甲站到乙站所用的时间比从乙站到甲站所用的时间多多少小时？（2）若要求火车来回所用的时间相同，那么火车从甲站到乙站在平路上的速度与乙站到甲站在平路上的速度的比是多少？12.3、如图12.3，等边ABC的边长31225a，点P是ABC内的一点，且222PCPBPA，若5PC，求PBPA,的长。ABCP图12.313.1、如图13.1，在锐角ABC中，CEAD,分别是ABBC,边上的高，CEAD,相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连结DEPQ,；（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果ABC是钝角三角形，90BAC，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给出必要的说明。8jPQABCDEF图13.113.2、已知在等式sdcxbax中，dcba,,,都是有理数，x是无理数，解答：（1）当dcba,,,满足什么条件时，s是有理数；（2）当dcba,,,满足什么条件时，s是无理数。13.3、在线段AB上，先在A点标注0，在B点标注2002，这称为第一次操作；然后在AB的中点C处标注1001220020，称为第二次操作；又分别在得到的线段BCAC,的中点ED,处标注对应线段两端所标注的数字和的一半，即210010与220021001，称为第三次操作；照此下去，那么经过11次操作之后，在线段AB上所有标注的数字的和是多少？14.1、有一批影碟机（VCD）原售价：800元/台。甲商场用如下办法促销：购买台数1~5台6~10台11~15台16~20台20台以上每台价格760元720元680元640元600元乙商场用如下办法促销：每次购买1~8台，每台打九折；每次购买9~16台，每台打八五折；每次购买17~24台，每台打八折；每次购买24台以上，每台打七五折；9（1）请仿照甲商场的促销列表，列出到乙商场购买VCD的购买台数与每台价格的对照表；（2）现在有CBA,,三个单位，A单位要买10台VCD，B单位要买16台VCD，C单位要买20台VCD，问他们到哪家商场购买花费较少？14.2、如图14.2，在锐角ABC中，FED,,分别是CABCAB,,边上的三等分点，RQP,,分别是ADF、BDE、CEF的三条中线的交点。（1）求DEF与ABC的面积比；（2）求PDF与ADF的面积比；（3）求多边形PDQERF与ABC的面积比。ABCPRQDEF图14.214.3、两条直线上各有n个点，用这n对点按如下规则连结线段：①同一直线上的点之间不连结；②连结的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有其它的交点。（1）画图说明当3,2,1n时，连结的线段最多各有多少条？（2）由（1）猜想n（n为正整数）对点之间连结的线段最多有多少条，证明你的结论。（3）当2003n时，所连结的线段最多有多少条？1015.1、民航规定：旅客可以免费携带a千克物品，若超过a千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克)(ab时，所交费用为20010bQ（单位：元）。（1）小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？（2）小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？（3）若收费标准以超重部分的质量m（千克）计算，在保证所交费用Q不变的情况下，试用m表示Q。15.2、如图15.2，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得到折痕EF。（1）证明四边形AECF是菱形；（2）计算折痕EF的长；（3）求CEH的面积。DAHCBEF图15.215.3、如图15.3，用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的正方形格子，点BAO,,均在正方形格子的顶点（格点）处，其中点O与点A位于同一水平线上，相距a格，点O与点B位于同一竖直线上，相距b格。（1）若4,5ba，则OAB中（包括三条边）共有多少个格点？（2）若ba,互质，则在线段AB上（不包括BA,两点）是否有格点？证明你11的结论。（3）若ba,互质，且8ba，OAB中（包括三条边）共有67个格点，求ba,的值。2-2-55BOA图15.316.1．图5是一个长为400米的环形跑道，其中A、B为跑道对称轴上的两点，且A、B之间有一条50米的直线通道，甲、乙两人同时从A点处出发，甲按逆时针方向以速度1v沿跑道跑步，当跑到B点处时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度2v沿跑道跑步。当跑到B点处时沿直线通道跑回到A点处，假设两人跑步时间足够长。求：（1）如果12:3:2vv，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇？（2）如果12:5:6vv，那么乙跑了多少路程后，两人首次在