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1全等三角形复习1、概念：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形。⑵全等三角形的有关概念：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。表示：△ABC≌△DEF注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。2、三角形全等的判定和性质注意：1、有两个角和一边分别相等的两个三角形不一定全等，如有对应则全等。2、边边角（SSA）和角角角(AAA)不能判断全等的方法。3、证题的思路：）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS4、角平分线的性质：⑴角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。⑵角平分线的判定：教的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。⑶三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。5、解题技巧：1）寻找全等三角形对应边、对应角的规律：一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等，周长相等，面积相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边一定是对应边．(4)有公共角的，公共角一定是对应角．(5)有对顶角的，对顶角是对应角．⑥全等三角形中的最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)(6)寻找对应元素的方法1）根据对应顶点找2）根据已知的对应元素寻找3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系翻折如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；旋转如图，COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；平移如图，DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。2）找全等三角形的方法（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。33）证明线段相等的方法：（1）中点定义；（2）等式的性质；（3）全等三角形的对应边相等；（4）借助中间线段（即要证a=b,只需证a=c,c=b即可）。随着知识深化，今后还有其它方法。4）证明角相等的方法：（1）对顶角相等；（2）同角（或等角）的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角、内错角相等；（4）角的平分线定义；（5）等式的性质；（6）垂直的定义；（7）全等三角形的对应角相等；（8）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。5）证垂直的常用方法（1）证明两直线的夹角等于90°；（2）证明邻补角相等；（3）若三角形的两锐角互余，则第三个角是直角；（4）垂直于两条平行线中的一条直线，也必须垂直另一条。（5）证明此角所在的三角形与已知直角三角形全等；（6）邻补角的平分线互相垂直。6）全等三角形中几个重要结论（1）全等三角形对应角的平分线相等；（2）全等三角形对应边上的中线相等；（3）全等三角形对应边上的高相等。三、典型例题题型一运用全等三角形的性质解决角度和边的长度问题4例1（基础题）已知△ABC≌△DEF，且∠A=52°，∠B=71°31′，DE=8.5cm，求∠F的大小与AB的长.分析:由三角形的内角和可求出∠C的度数，根据两个三角形全等，对应角相等、对应边相等，即可求出∠F的大小和AB的长.解:在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°），∴∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（52°+71°31′）=56°29′.∵△ABC≌△DEF，DE=8.5cm，∴∠F=∠C=56°29′，AB=DE=8.5cm.小结：本题是全等三角形的性质与三角形内角和定理的综合题，要求∠F和AB，可先找∠F的对题型二利用全等变换解决几何问题例2（提高题）如图所示，图中是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF.如果AB＝8cm，BE=4cm，DH＝3cm，则图中阴影部分面积为。应角∠C和AB的对应边DE，再根据全等三角形的性质求值.3、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等例题3、已知∠B=∠E=90°，CE=CB，AB∥CD.求证：△ADC是等腰三角形例题4、已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，求证：EB=FC4、证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短”等方法例题5、如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证AB=AC+BD提示：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用ACEBD5的两种方法：（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）（2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补））类型一、全等形和全等三角形的概念1、全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形（可以在平面内通过平移或旋转使它们重合）与镜面合同三角形（必须将其中一个翻转180°才能重合），下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是()类型二、全等三角形性质1、如图，在长方形ABCD中，将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，若∠1＝35°，则∠2＝________.（答案）35°；提示：将△BCD沿其对角线BD翻折得到△BED，所以∠2＝∠CBD，又因为AD∥BC，所以∠1＝∠CBD，所以∠2＝35°.2、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.（答案）∠α＝80°（解析）∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28x，∠2＝5x，∠3＝3x，∴28x＋5x＋3x＝36x＝180°，x＝5°即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，∴△ABE≌△ADC≌△ABC∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°（点评）此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数x是比较常用的解题思路.3、如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1:2B．1:3C．2:3D．1:4（答案）D；提示：设∠A＝3x，∠ABC＝5x，∠BCA＝10x，则3x＋5x＋10x＝18x＝180°，x＝10°.又因为△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠B＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.