初中八年级数学第19章《一次函数》复习(新人教版)

1初中八年级数学第19章《一次函数》复习一、函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。2、常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。3、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。例：等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式：y＝180－2x．注意：判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一（必须是唯一）确定的值与之对应。Y的值叫做这个函数X取确定值时的函数值。求函数值就是求代数式的值。如：函数y＝180－2x，当x=30°时，y=120°，120°叫做函数y＝180－2x当x=30°时的函数值4、求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．例：求当x=2时，函数y=－3x²的函数值解：当x=2时，y=－3×2²=－125、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。确定函数定义域的方法：1）函数的关系式为整式时，函数定义域为全体实数；2）函数的关系式含有分式时，分式的分母不等于零；3）函数的关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；4）函数的关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例：求下列函数中自变量x的取值范围：(1)y＝3x－1；(2)y＝2x²＋7；(3)21xy；(4)2xy．2解(1)x取值范围是任意实数；(2)x取值范围是任意实数；(3)x的取值范围是x≠－2；(4)x的取值范围是x≥2．6、函数的表示方法：1）列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。如：银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率2）解析式法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式（函数的关系式）。简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。3）图象法：一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。注意：画函数图象时，一定要注意自变量的取值范围，尤其实际问题描点法画函数图形的一般步骤：第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。注意：1）画实际问题的图象时，必须首先考虑函数自变量的取值范围．有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致；2）一次函数是直线，二次函数平滑曲线二、一次函数1、一次函数的定义：一般地，形如ykxb（k，b是常数，且0kx最高指数为1）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当0b时，一次函数ykx，又叫3做正比例函数。注意：一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b0时，向上平移；当b0时，向下平移）（1）一次函数的解析式的形式是ykxb，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式。（2）当0b，0k时，ykx仍是一次函数．（3）当0b，0k时，它不是一次函数．（4）正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．（5）自变量范围：X为全体实数。（但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定）注意：某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0．1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)2）必过点：（0，b）和（-kb，0）3）走向：k0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第二、四象限b0，图象经过第一、二象限；b0，图象经过第三、四象限00bk直线经过第一、二、三象限00bk直线经过第一、三、四象限00bk直线经过第一、二、四象限00bk直线经过第二、三、四象限4）增减性：k0，y随x的增大而增大；k0，y随x增大而减小.5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.6）图像的平移：当b0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.3、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.4即横坐标或纵坐标为0的点.一次函数0kkxbkk，b符号0k0k0b0b0b0b0b0b图象OxyyxOOxyyxOOxyyxO性质y随x的增大而增大函数的图象从左到右上升y随x的增大而减小，函数的图象从左到右下降.4、正比例函数及性质：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.例：已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1，若它是正比例函数，求k的值．若它是一次函数，求k的值．解若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数,则2k＋1＝0,即k＝21．若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数,则k－2≠0,即k≠2．例：已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)y与x之间是什么函数关系；(3)求x＝2.5时，y的值．解：(1)因为y与x－3成正比例,∴y＝k(x－3)．又因为x＝4时，y＝3，∴3＝k(4－3)，解得k＝3，∴y＝3(x－3)＝3x－9．(2)y是x的一次函数．(3)当x＝2.5时，y＝3×2.5＝7.5．5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b0时，向上平移；当b0时，向下平移）6、直线11bxky（01k）与22bxky（02k）的位置关系1）21kk且21bb两直线平行2）21kk且21bb两直线重合3）21kk两直线相交4）121kk两直线垂直5）21kk，21bb两直线相交y轴上的同一点（0，b）57、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.8、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b0或ax+b0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.9、一次函数与二元一次方程组1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcxba的图象相同.2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数和的图象交点.10、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式（即设函数表达式为y=kx+b）；2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程（组）；3）解方程得出未知系数的值（即求出k与b的值）；4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.例1直线521,321xyxy分别是由直线xy21经过怎样的移动得到的．解321xy是由直线xy21向上平移3个单位得到的；521xy是由直线xy21向下平移5个单位得到的．例2已知一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5,当m是什么数时，函数值y随x的增大而减小？．解：∵一次函数y＝(2m-1)x＋m＋5，函数值y随x的增大而减小．∴2m-1＜0,即21m.例3已知一次函数y＝(1-2m)x＋m-1，若函数y随x的增大而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限,求m的取值范围.6分析一次函数y＝kx＋b(k≠0)，若函数y随x的增大而减小，则k＜0,若函数的图象经过二、三、四象限，则k＜0,b＜0.解由题意得:01021mm,解得，121m例4已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数.(1)求m的值；(2)当x取何值时，0＜y＜4？分析一次函数y＝kx＋b(k≠0)与y轴的交点坐标是(0,b)，而交点在x轴下方，则b＜0,而y随x的增大而减小,则k＜0.解(1)由题意得：01083mm，解得，381m,∵m为整数,∴m＝2.(2)当m＝2时，y＝-2x-1.∵0＜y＜4.∴0＜-2x-1＜4.解得：2125m.例5已知一个一次函数当自变量x＝-2时，函数值y＝-1,当x＝3时，y＝-3．能否写出这个一次函数的解析式呢？解：设这个一次函数为:y＝kx＋b(k≠0),由已知条件x＝-2时，y＝-1，得-1＝-2k＋b．由已知条件x＝3时，y＝-3，得-3＝3k＋b．两个条件都要满足，即.33,21bkbk解得5952bk∴一次函数解析式为5952xy．例6若一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，求m的值．解当x＝0时，y＝3．即：3＝-(m-2)．解得m＝-1．例7已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(-1,1)和点(1，-5),求当x＝5时，函数y的值．解由题意，得.5,1bkbk解这个方程组，得.2,3bk这个函数解析式为y＝-3x-2．当x＝5时，y＝-3×5-2＝-17．7例8求直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标．解两个函数关系式组成的方程组为.3,2xyxy解得.6,3yx∴直线y＝2x和y＝x＋3的交点坐标为(3，6)．例9已知两条直线y1＝2x-3和y2＝5-x．(1)在同一坐标系内作出它们的图象；(2)求出它们的交点A坐标；(3)求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积；(4)k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与k＝2x＋3y的交点在第四象限．解(1)(2).5,3221xyxy解得.37,38yx∴两条直线的交点坐标A为37,38．(3)当y1＝0时，x＝23所以直线y1＝2x-3与x轴的交点坐标为B(23，0)，当y2＝0时，x＝5，所以直线y2＝5-x与x轴的交点坐标为C(5,0)．过点A作AE⊥x轴于点E，则124937272121AEBCSABC．(4)两个解析式组成的方程组为.32,4512yxkyxk解得：.72,732kykx∵交点在第四象限，∴x＞0,y＜0．即.072,0732kk解得223k．例10若直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，且与y轴交点的纵坐标为-2；求直线的表达式.解：∵直线y＝-kx＋b与直线y＝-x平行，∴k＝-1,又∵直线与y轴交点的纵坐标为-2,∴b＝-2,∴所求的直线的表达式为y＝-x-2.8例11．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。证明：∵与成正比例，设=a(a≠0的常数),∵y=,=(k≠0的常数),∴y=·a=akx，其中ak≠0的常数，∴y与x也成正比例。例12．