初中函数知识点总结加练习4二次函数[1]

第1页共4页二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数2yaxbxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵abc，，是常数，a是二次项系数，b是，c是．ax2是。二、二次函数的基本形式二次函数的形状都由a决定，只要a相同，二次函数的图象形状就相同。a的绝对值越大，抛物线的开口越。1.二次函数基本形式：2yax的性质：2.2yaxc的性质：二次函数2yaxc的图象可以看作2yax向上或者向下平移|c|个单位长度得到。上加下减。3.2yaxh的性质：二次函数2yaxh的图象可以看作2yax向或者向平移|h|个单位长度得到。左加右减。4.2yaxhk的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0x时，y随x的增大而；0x时，y随x的增大而；0x时，y有最值是．0a0x时，y随x的增大而；0x时，y随x的增大而；0x时，y有最值是．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0ay轴0x时，y随x的增大而；0x时，y随x的增大而；0x时，y有最值是．0ay轴0x时，y随x的增大而；0x时，y随x的增大而；0x时，y有最值是．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0axh时，y随x的增大而；x时，y随x的增大而；x时，y有最值是．0ax时，y随x的增大而；x时，y随x的增大而；x时，y有最值是．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质第2页共4页三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；⑵保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22.平移规律八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数2yaxhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbyaxaa，其中2424bacbhkaa，．所以二次函数的顶点坐标是（h,k），用a,b,c表示也就是（，）五、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数2yaxbxc的性质1.当0a时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．0axh时，y随x的增大而；x时，y随x的增大而；x时，y有最值是．0ax时，y随x的增大而；x时，y随x的增大而；x时，y有最值是．第3页共4页当2bxa时，y随x的增大而；当2bxa时，y随x的增大而；当2bxa时，y有最值．2.当0a时，抛物线开口，对称轴为，顶点坐标为．当2bxa时，y随x的增大而；当2bxa时，y随x的增大而；当2bxa时，y有最值．七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式：（a，h，k为常数，0a）；注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a．⑴当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越，反之a的值越小，开口越；⑵当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越，反之a的值越大，开口越．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的侧．⑵在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的侧．总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则ab0（填,或=），在y轴的右侧则ab0（填,或=），概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c⑴当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；第4页共4页⑶当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当240bac时，图象与x轴交于两点②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0（填,或=）；2'当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0（填,或=）2.抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为；