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初中数学个人珍藏中考数学压轴题原创题－黄冈中考数学压轴题原创人：徐新文湖北省浠水县白莲中学，QQ：394515543【创编1】如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系。动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E。⑴．直接写出点D、C的坐标和经过A、D、C三点的抛物线解析式；⑵．是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；⑶．设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；⑷．若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值。解：⑴．D（3，33）、C（9，33）、抛物线解析式为：2143393yxx⑵．如图a，连结AC知AC⊥BD，若PQ⊥DB，则PQ∥AC，那么P在BC上时不存在符合要求的t值，当P在DC上时，由于PC∥AQ且PQ∥AC，所以四边形PCAQ是平行四边形，则PC=AQ，有6－2t=t,得t=2⑶．①如图a,当点P在DC上，即0≤t≤3时，有△EDP∽△DAQ，则122AEAQtDEDPt，那么AE=13AD=2，即y=2；②如图b,当点P在CB上，即3＜t≤6时,有△QEA∽△QPB，则AEAQPBQB，即1226AEttt，得y=266ttt，综上所述：22tytttt（0≤≤3）（6-）（3＜≤6）6+ABACADAQPAPQAEAxBAyBA图a①ABACADAQPAPQAEAxBAyBA图bABACADAQPAPQAEAxBAyBA●QPAFQPA●QPAGFQPAABACDAxBAyBA●QPAFQPA●QPAGFQPAG′QPAF′●QPA●QPAHAMN●QPA●QPA图c初中数学个人珍藏⑷．如图c,作点F关于直线DB的对称点F′，由菱形对称性知F′在DA上，用DF′=DF=1；作点G关于抛物线ADC对称轴的对称点G′，易求DG′=4，连结F′G′交DB于点M、交对称轴于点N，点M、N即为所求的两点。过F′作F′H⊥DG′于H，依次求得HD=12，F′H=32，HG′=92，用勾股定理计算得F′G′=21，所以四边形FMNG周长最小为F′G′+FG=21+1。设计理念：压轴原来是指倒数第二的意思，倒数第一是应称呼为大轴，不过似乎大家都将中考试卷最后一题约定为压轴题，既然如此，我亦随大流了。解析全国各省市多年压轴题，我个人认为应将该题型称之为“函数几何综合解答题”较为贴切。初中阶段学习的平面几何主要有三角形及特殊三角形、平行四边形及特殊平行四边形、圆，每种图形有其特殊性质及判定方法。本题着力菱形的各项性质而设计，如第⑵问着力“菱形的对角线互相垂直”而设计，第⑶问着力“菱形对边互相平行”而设计，第⑷问着力“菱形是轴对称图形”而设计，对于学生来说，⑵⑶⑷问依次考察了学生对菱形基本性质的掌握程度及运用其性质灵活解题的能力。显然，考生思考时如果能充分考虑菱形的性质，解决本题会很轻松，反之，解决此题时会走一些弯路，亦无法体会用菱形性质解题的妙处。本题在设计时，⑴⑵⑶⑷问难度依次递增，充分考虑了不同层次的学生，让每位答题的学生都有所收获，都能获取成功的体验，同时本题又兼顾了压轴题的选拔功能，通过本题可以很好地区分学生的层次，激发更多的学生去攀登数学高峰。初中数学个人珍藏【创编2】如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（6，8），点D坐标为（9，0），过B作BA⊥x轴于点A，作BC⊥y轴于点C．点P沿OC自点O向点C运动，同时点Q沿OA自点O向点A运动，点Q与点P的速度之比为1：n，连结PB、PQ，⑴．求经过C、B、D三点的抛物线；⑵．当n=____时，∠OQP=30°；当n=____时，∠OQP=45°，当____时，∠OQP=60°；⑶．若存在PB⊥PQ，试求OQ的取值范围；⑷．点M为四边形OABC边上的某点，请直接写出能使△MBD为等腰三角形的点M坐标。解：⑴．28168279yxx⑵．33，1，3⑶．方法Ⅰ：若PB⊥PQ，则△BCP∽△POQ，则BCCPPOOQ，设OQ长为x，则PO=nx，有68nxnxx,化简得2860xnn，显然Δ≥0，所以(－8)2－4•x•6≥0，解得x≤83∴0＜OQ≤83方法Ⅱ：取BQ中点E，过E作EF⊥CO于F，由“直线与圆的位置关系”及“直径所对的圆周角为直角”知识知当EF≤EQ时，直线OC与⊙E有交点，故存在PB⊥PQ，设OQ长为x，计算知EF=1(6)2x，EQ=228(6)2x，所以1(6)2x≤228(6)2x，解得x≤83,∴0＜OQ≤83⑷．符合要求的M点有五个，分别为（9－73，0）、（3，0）、（0、8－37）、（6、5516）、（0，1916）。补充⑷解答详细过程：如图：OAABABCBACDCBADEDCBAPEDCBAQPEDCBA初中数学个人珍藏①当DB=DM时，以D为圆心、以DB为半径作⊙D，交矩形OA边于M1，求得M1坐标为（9－73，0）；②当BM=BD时，以B为圆心、以BD为半径作⊙B，交矩形OA边于M2、交OC边于M3，运用勾股定理依次求得M2为（3，0）、M3为（0、8－37）；③当MA=MB时，作BD垂直平分线分别交矩形AB边于M4、交OC边于M5，用由勾股定理（列方程）依次求得M4为（6、5516）、M5为（0，1916）。综上所述符合要求的M点五个，它们的坐标分别为（9－73，0）、（3，0）、（0、8－37）、（6、5516）、（0，1916）。设计理念：创编1是以菱形为主体设计的，创编2亦想以矩形为主体进行设计，着力矩形的基本性质来设计问答。在设计过程中，很想着力“矩形对角线相等”来设计一小问，绞尽脑汁未设计出有价值的题目，只得围绕“矩形的四个角都是直角”来做文章。第⑵小问虽然简单，但是考察了学生对三角函数的直观理解，第⑶小问原本想考察学生构造直角三角形的能力，转念一想，直角三角形构造在压轴题中很常见，就算我设计出来也未免落入俗套，结果“节外生枝”，偶然想起PB⊥PQ时可运用相似列一元二次方程求PQ长，隧将此小问创编为求PQ范围，相信这一创新会成为整道题的一大靓点。第⑷小问构造等腰三角形虽然平常，但是由于创编为在矩形边上找等腰三角形第三顶点，相信这一设计会引起答题者浓厚的兴趣。本题值得一提的还有一点就是在设计题型时，为提供学生可以用多种算法解题预留了较大的伸展空间，如第⑶小问，可以用相似形应用来解答亦可用圆与直线位置关系应用来解答。事后，答题者还可以就两种解法交换心得；第⑷问求M点坐标时，同样某些点即可以用相似或全等来求解，也可以用勾股定理来求解。