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动点最值问题解法探析湖北省随州市草店中学王厚军李华荣一、问题原型：（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二、基本解法：对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。三、一般结论：(在线段上时取等号)（如图1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。1.两个定点+一个动点。如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是。解析：与关于直线对称，连结，则。连结,在中，，，则故的最小值为例2（2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。解析：（1）对称轴为，，由对称性可知：。根据、、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：（2）与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。设直线解析式为：。把、代入得，。当时，，则2.两个定点+两个动点。两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。例3如图4，河岸两侧有、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解析：设桥端两动点为、，那么点随点而动，等于河宽，且垂直于河岸。将向上平移河宽长到，线段与河北岸线的交点即为桥端点位置。四边形为平行四边形，，此时值最小。那么来往、两村最短路程为：。例4(2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，，为边的中点。（1）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；（2）若，为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点，的坐标。解析：作点关于轴的对称点，则，。（1）连接交轴于点，连接，此时的周长最小。由可知，那么，则。（2）将向左平移2个单位（）到点，定点、分别到动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在上截取，连接交轴于，四边形为平行四边形，。此时值最小，则四边形的周长最小。由、可求直线解析式为，当时，，即，则。（也可以用（1）中相似的方法求坐标）（二）“|动定|+|动动|”型：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例5（2009年陕西省中考）如图6，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值为4。解析：角平分线所在直线是角的对称轴，上动点关于的对称点在上，，，当时，最小。作于，交于，∵，∴作交于，例6如图7，四边形是等腰梯形，、在轴上，在轴上，，，，，抛物线过、两点。（1）求、；（2）设是轴上方抛物线上的一动点，它到轴与轴的距离之和为，求的最大值；（3）当（2）中点运动到使取最大值时，此时记点为，设线段与轴交于点，为线段上一动点，求到点与到轴的距离之和的最小值，并求此时点的坐标。解析：（1）由，，，可得：、、、；根据、的坐标可求出抛物线解析式为（2）设，且，则，用零点分段法可求得，。当时，。此时，则。（3）轴与直线关于对称，作轴于，动点关于的对称点在直线上，，当垂直于直线时，的值最小。，根据和可求直线的解析式，则有。由可知，。作，过点作轴的平行线，交于，那么。作于，则，，当是于的交点时，与重合，有最小值5。函数，此时，则，即。3.“|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。例7（2009年漳州中考）如图8，，是内一点，，、分别是和上的动点，求周长的最小值。解析：分别作关于、的对称点、，连接，则，当、在线段上时，周长最小，∵，∴。则周长的最小值为例8（2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，如图9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速公路同侧，，到直线的距离为，到直线和的距离分别为和。请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。解析：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，。当、在线段上时，最小。过、分别作轴、轴的平行线交于。在中，，，交轴于，交轴于。，而∴四边形的周长最小值为：