初中数学中十字相乘法分解因式

初中数学中十字相乘法分解因式第1页共6页初中数学中十字相乘法分解因式总结知识归纳：对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式xabxabxaxb2()进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项axbxc2（a、b、c都是整数，且a0）来说，如果存在四个整数acac1122，，，满足aaaccc1212，，并且acacb1221，那么二次三项式axbxc2即aaxacacxcc122122112可以分解为axcaxc1122。这里要确定四个常数acac1122，，，，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。1.在方程、不等式中的应用例1.已知：xx211240，求x的取值范围。分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解：xx211240xxxxxxxx3803080308083或或例2.如果xxmxmx43222能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。分析：应当把x4分成xx22，而对于常数项-2，可能分解成12，或者分解成21，由此分为两种情况进行讨论。解：（1）设原式分解为xaxxbx2212，其中a、b为整数，去括号，得：xabxxabx43222将它与原式的各项系数进行对比，得：abmabm1122，，解得：abm101，，此时，原式xxx2221（2）设原式分解为xcxxdx2221，其中c、d为整数，去括号，得：xcdxxcdx43222将它与原式的各项系数进行对比，得：cdmcdm1122，，解得：cdm011，，此时，原式xxx22212.在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足xyxxyy22220，求长方形的面积。初中数学中十字相乘法分解因式第2页共6页分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解：xyxxyy22220xxyyxyxyxyxyxy22222020210()xy20或xy10又xy8xyxyxyxy208108或解得：xy53或xy3545..∴长方形的面积为15cm2或6342cm4.在代数证明题中的应用例.证明：若4xy是7的倍数，其中x，y都是整数，则810322xxyy是49的倍数。分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。证明一：810323422xxyyxyxy2234647xyxyxyy∵4xy是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）∴223xy是7的倍数而2与7互质，因此，23xy是7的倍数，所以810322xxyy是49的倍数。证明二：∵4xy是7的倍数，设47xym（m是整数）则yxm47又∵810323422xxyyxyxy21221447714214923xxmxxmmxmmxm∵x，m是整数，∴mxm23也是整数所以，810322xxyy是49的倍数。例1.（2000·湖北）把22224954yyxyx分解因式的结果是________________。解：22224954yyxyxyxxyxxyxxx2422222245949112323说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。例2.（2000·甘肃）因式分解：6752xx_______________初中数学中十字相乘法分解因式第3页共6页解：67521352xxxx说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。题型展示：例1.若xymxy2256能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）A.1B.-1C.1D.2解：xymxyxyxymxy225656-6可分解成23或32，因此，存在两种情况：（1）x+y-2（2）x+y-3x-y3x-y2由（1）可得：m1，由（1）可得：m1故选择C。说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足acbacb24。求证：abbc证明：acbacb24acbacbaaccbcacabbacbacbacbacbabbc2222222402444404402020说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例3.若xxxa3257有一因式x1。求a，并将原式因式分解。解：xxxa3257有一因式x1∴当x10，即x1时，xxxa32570a3xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3232222257344331413114311313说明：由条件知，x1时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是x1，分解时尽量出现x1，从而分解彻底。初中数学中十字相乘法分解因式第4页共6页实战模拟：1.分解因式：（1）abab221639（2）15742122xxyynnnn（3）xxxx2223223722.在多项式xxxxxxxxx123232123222，，，，，，哪些是多项式xxxx242221029的因式？3.已知多项式21332xxxk有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。4.分解因式：3529422xxyyxy5.已知：xyxy05312..，，求312922xxyy的值。初中数学中十字相乘法分解因式第5页共6页【试题答案】1.（1）解：原式abababab21639313（2）解：原式35411xyxynnnn（3）解：原式xxxxxxxx223431841632.解：xxxx242221029xxxxxxxxxxxxxxxxxxx222222222222921232321212331121∴其中xxxxxx13232122，，，是多项式xxxx242221029的因式。说明：先正确分解，再判断。3.解：设21321322xxxkxxaxb则21322123232xxxkxaxabxb211213aabbk解得：abk166k6且21362162132322xxxxxxxxx说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。4.解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。设3529422xxyyxy323523222xymxynxxyymnxmnymn比较同类项系数，得：mnmnmn31294解得：mn4135294342122xxyyxyxyxy5.初中数学中十字相乘法分解因式第6页共6页解：312922xxyy3433322xxyyxyxyxyxy053123051218.....，原式说明：用因式分解可简化计算。