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专题讲座初中数学习题课教学的研究杨竞北京十二中初中二部一、课型特征、目的习题课是初中数学学习的一种重要课型。习题课是新知课之后，教师有目的、有计划地指导学生运用已学过的知识解决一系列问题的教学活动。该课型应体现学生的学习活动是在进行“解决问题学习”，也就是把已经掌握的基本概念，基本的公式、法则、定理，迁移到不同情境下加以应用，找出解决当前问题的方法，并加以比较，择优。其目的是巩固知识、学会解题，发展思维。（1）通过习题课可以使学生加深对基本概念的理解，从而使概念完整化、具体化，牢固掌握所学知识，逐步形成完善合理的认知结构。（2）习题课的目标之一是使学生学会解题，学生在解题中容易出现审题入手难、解题遗漏多等问题，解题准确与否与解题习惯密切相关，如能给予学生一定的解题思维程序，对学生学习如何解题有一定帮助。习题课的教学是对所学过的、所解决的习题作一回顾和提高，不仅巩固应用所学知识，而且还应该是知识的升华与提高，更是方法的提炼与总结以及数学思想方法、思维能力的培养与训练，同时也要培养学生良好的解题习惯。（3）由于数学知识严密的逻辑性与高度的概括性，在例、习题中,还隐藏很多没写明的东西。即使最简单的例、习题里，也存在着可发掘的因素，而这些往往并不是学生们所能领会的。因此，就需要设计一些习题课，教师引导、点拨，学生进行观察、归纳、类比、抽象，学会解题，能够准确地判断、决策并简洁严谨地表达，给学生以施展才华、发展思维，锻炼能力的机会。因此，上好习题课，对于总结归纳基本知识点和基本方法，提高学生分析和解决问题的能力具有决定性意义。二、习题课的分类根据教学时间段落的不同，我们就可以明确习题课的主题和类型了，习题课的一般类型有：单元习题课、章节习题课、总复习习题课。在一个单元章节结束时，针对本单元、本章节的学习过程，针对学生对知识理解的错误及运用知识解决问题时普遍存在的问题而设的带有提高性质的习题课。根据教学任务的不同，习题课的一般类型有：概念强化习题课、方法归纳习题课（专题习题课）、纠错习题课、试卷分析习题课等等。概念强化习题课：是在新概念、新规律建立时，为准确认识新知识的内涵、条件、范围及基本运用方法而设的习题课，这种习题课不一定单独进行，可以是与讲授新课结合在一起，也可以单独讲授。方法归纳习题课（专题习题课）：是学完数学知识系统中占有重要地位的知识，或是对数学思维的形成及对今后的学习有着重大影响而难度又较大的知识后，为帮助学生提高认识及减轻学习困难、提高某些能力与方法的运用水平而设置的习题课。三、如何备好习题课（理念、目标、内容（选题）、教法）（一）备教师我们都知道，课堂上的主要对象有教师、学生和教学内容。而传统意义上的备课只是备教材，但是我觉得要想备好课、上好课，首先要备教师。什么是备教师？教师怎么自己备自己呢？从以下两点解释一下：更新、反思。更新就是更新观念。传统的数学习题课通常采用“知识点的回顾——典型例题讲解——巩固练习——归纳小结”的讲授型教学模式。这种习题课模式的优点是：体现了知识的系统性和框架结构、突出复习重点、题目练习容量大、密度高、节奏快、便于操作，达到教学目标用时较少。因此，长期以来广大教师乐于采用这种复习模式。但这种复习模式中，学生经常属于被动接受知识的地位，教师讲什么，学生就只能听什么，教师认为哪里需要重点讲，哪里需要突破难点就花大力气突破。但是它忽略了学生才是学习的主体的事实，导致在习题课中，学生缺乏学习的主动性、缺乏自主学习、合作研究的机会，缺乏及时有效的反馈，使习题课流于仅仅是知识点的简单罗列和大量的例题的呈现，使习题课的功效大打折扣。要提高习题课的有效性，我们教师必须要更新观念。学生的地位和作用：新课标理念下的数学习题课一定要突出学生知识的意义建构。根据建构主义理论，学生的学习是学生主体基于已有的知识和经验由学生自己主动、积极建构的过程。这种建构不可由他人替代，学习者不是被动的刺激接受者，而是信息加工的主体、是意义的主动建构者。教师的地位和作用：教师不应是知识的传授者与灌输者，而应作为学生自主探究、合作交流、反思提高的指导者与合作者。教学过程：新课标理念下的数学习题课的教学过程，必须突出学生是学习的主体，关注学生的自主探索和思考，重视对学生思维、能力、发展性和创造性的培养，强调学生亲历体验并参与研究过程，学生获得对知识理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。这些新的理念不仅武装了我们的头脑，更重要的是我们要把它落实在教学实践中。那么备教师的第二点是反思。反思教学中的得与失，反思学生学习效果的成因等等。这样的反思对备好和上好一节课习题课起到重要的作用。举例：在有理数乘法的教学中，我们常会遇到这样的一道题目：。新课教学时教师引导学生思考如何运算简便，学生结合小学学习的经验可以想到将拆成两个数，如或者，经过两种方法的对比，就本题而言选用比较简便。那么为什么在作业中还是出现了错误呢？错例1：错例2:发现都是符号写错了。老师和学生都会分析错因，学生会按照老师的要求重新做一下这道题，并许诺下次仔细检查。学生和教师分析对比：错误现象分析原因措施学生符号错误马虎这次重做一遍；许诺下次仔细检查教师符号错误运算步骤不当先确定符号，然后转化成学生在已经学会的知识解决学生经常在此出错，就应该引发教师进行反思：为什么错？和我的教学有什么关系？我怎样改变教学方法或者解题方法会对学生有帮助？解法对比：反思：对比两种解法，在新课的教学中可能更重视了对的分析，并且用-25去乘30和也没有错误；但是忽视了有理数运算的步骤，应该先确定符号，再计算绝对值。并且方法2更符合学生的认知基础，他们在小学对这样的乘法运算做的比较好，我们应该加以利用。经过认真反思，想出比较好的解决办法后进入课堂进行教学，针对性和有效性一定会大大提高。（二）确定教学目标和新课一样，教师需要备教材、备学生。尤其是我们教师要清楚自己所教的学生的情况，他们哪里会了掌握的很好就不需要再重复，哪里不会或者已经发生了混淆的地方就是我们上课要解决的问题，某种重要方法运用的不够灵活，它就是我们要加强练习的。如此根据学生的具体情况而制定的教学目标可能和同备课组的其他老师不一样，但是它一定要适合您所教的学生的。习题课的目标就是要通过本节学习，巩固哪些知识，扩展哪些知识，掌握哪些解题方法，理解和体验哪些数学思想，形成什么技能，这些都要有明确的目标。举例：总复习之专题习题课----求代数式的值。在初三总复习的教学中制定教学目标的依据比其他年级增加了《考试说明》。如：对求代数式的值的要求是：“能根据特定的问题所提供的资料，合理选用知识和方法，通过代数式的适当变形求代数式的值（C级）”，属于较高要求。我们来看几道近年的中考题和模拟试题：（2008北京）已知x-3y=0,求的值。（2009北京）已知,求的值。（2010铜仁）已知,求的值。（2010模拟）已知，求的值。在初一和初二的教学中，没有达到这个要求，因此需要专题训练。“通过代数式的适当变形”就是对代数式进行化简，涉及的知识主要有整式运算、分式运算、二次根式的运算等，这些都是要求学生熟练掌握的，在本节课要加以巩固，因此教学目标定为：熟练进行整式运算、分式运算以及二次根式的运算。“合理选用知识和方法”主要是代入求值的方法，有的题目是直接代入，有时题目是将条件或者等价条件整体代入求值，对于整体代入是解决一些问题的重要方法，是本节课的重点，但是学生对其不很熟悉，属于需要扩展的知识，因此教学目标定为：掌握用整体代入求代数式的值的方法，体验换元思想。如此，依据《考试说明》、根据学生的认知情况，对教材内容进行整合、加深和扩展是有依据的，保证教学的科学性和实效性。（三）精心选择题目著名数学家波利亚也曾说过“掌握数学就是意味着擅于解题”。习题课作为一种重要的教学补偿手段，精选一些与教材内容相联系的习题展开分析和讨论，提高学生运用所学知识分析和解决较为复杂的具有灵活性和综合性问题的能力。一节习题课的质量的高低很大程度上取决于教师对习题的选择。①例题的安排要有非常强的示范性。首先要让某些例题体现主要知识点的运用，体现通解通法，以起到加强双基的示范性，再通过适当的变式引申、变式训练，以达到夯实双基、举一反三之效。例题的安排要体现教学解题方法的训练和解题技能的培养，要揭示例题的解题规律和体现例题的数学思想，这样才能体现例题的典型性。教学过程中，分析例题前可适当回顾知识要点及解题的基本方法，以便例题的学习更自然、更轻松。②习题的配备要有阶梯性。习题类型一般有基础知识型、基本方法型、综合提高型、创新应用型等，在难度上要有低、中、高三级题型，这三级之间还应插入级与级之间的“缓冲”习题，形成“小坡度、密台阶”习题，这样安排有利于学生在“发现区”内解题，利于学生“步步登高”，利于学生树立解题的必胜信心。当然适当安排综合提高型和创新应用型习题，有利于程度较好的学生的学习和提高。需要注意的是,习题课中不仅要求学生得到正确的计算结果,更要重视计算过程,注重思维训练,让学生有所“悟”。③习题的设计必须有一定的关联，比如，可以是同一个知识点的层层深化，也可以是一个知识点与不同知识在不同背景下的组合。关于变式练习和题组练习：我认为这两种练习的形式都非常好。伽利略曾说过“科学是在不断改变思维角度的探索中前进的”。在习题课的教学中，如果我们灵活地改变题目的条件或结论，巧妙地把一个题目化成一组要求不同或难度不断变化的题组，不仅可以使学生易于掌握应用之要领，也可使学生能从前一个较简单问题的解答中领悟到解决后一个较复杂问题的途径，从而达到举一反三的目的。故而课堂教学要常新、善变，通过原题目延伸出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，深刻挖掘例习题的教育功能，培养学生创新能力。④对例题和习题的安排，数量要适中。不要搞题海战术，但巩固基本知识、方法与技能培养的必要的题目还是要有的，要让每个题目具有代表性、典型性、示范性，并注意体现方法和规律，这样才能达到举一反三、事半功倍之效。举例：初三的教学内容，《直线与圆的位置关系》，在新课之后发现学生面对切线的证明还是觉得比较困难。于是我设计了一节习题课——圆的切线的证明。下面我就这节课具体谈一下习题课的备课问题。首先是确定教学目标。圆的切线的证明是中考的一个重要考点，除了阅读研究《新课标》我还认真学习了《2010年中考数学学科考试说明》，《考试说明》对圆的切线的相关要求是一下几点，其中与本节课相关的是：B级要求“能判断直线和圆的位置关系”。接着我分析了学生情况，对于圆的切线证明的两种主要方法：（1）已知圆心到直线的距离，利用d与r的关系进行判定（学生掌握较好）；（2）已知半径（联结半径），需要证明垂直关系进而应用定理进行判定（学生不能灵活运用）。究其原因，主要是证明垂直关系时遇到困难。基于以上分析，结合学生的认识基础，我确定了本节课的教学目标是：【教学目标】1．能灵活运用圆的切线的判定和性质解决相关的证明和计算；2．在分析问题、解决问题的过程中探究解题的方法并逐步建立面对中考的自信心；3．体会转化的数学思想。【教学重点】圆的切线的判定和性质的应用。【教学难点】灵活运用切线的判定和性质来分析问题和解决问题。接着便是例、习题的配备。课本例、习题均是经过专家多次筛选后的精品，教材丰富的内涵，是编拟中考试题的源泉。有的试题直接取自教材；有的试题是教材例题、习题的改变、延伸和拓展；有的试题是教材的几个题目、几种方法的组合。课本习题蕴含着无穷的魅力。所以，我建议老师们在题目的配备中，要优先考虑课本中例题与习题，或进行适当改编，编制一题多解、一题多变、一题多用、多题一法的习题，提高学生灵活运用知识的能力。我经过大量的做题，发现课本（《北京市义务教育课程改革实验教材》第18册）中的一道习题与近年的中考题有着密切的关系，于是我决定将其选择为例题，然后根据其特点配备了3类题目。我们先一起看一下课本的的习题：（是这样的一道题）课本第18册《圆下》P13。B组第4题如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线。以AB上一点O为圆心，