初中数学二次函数复习

二次函数的有关知识：1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x（y轴）（0,0）kaxy20x（y轴）(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)3.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点12(,)(,)、xyxy（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：122xxx4.抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：①0c，抛物线经过原点;②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab.5.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.6.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).（2）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点(0)抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）(0)抛物线与x轴相切；③没有交点(0)抛物线与x轴相离.（3）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.（4）一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.（5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，则12ABxx1.已知0a，在同一直角坐标系中，函数axy与2axy的图象有可能是（）2.二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则一次函数24ybxbac与反比例函数abcyx在同一坐标系内的图象大致为（）3已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc＞0②2a+b＜0③4a－2b+c＜0④a+c＞0，其中正确结论的个数为（）A、4个B、3个C、2个D、1个4二次函数322xxy的图象关于原点O（0,0）对称的图象的解析式是_________________。学科网5.(本题满分10分)如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B．（1）求点A、点B的坐标．（2）若点P是x轴上任意一点，求证：PAPBAB≤．（3）当PBPA最大时，求点P的坐标．解：（1）抛物线2124yxx与y轴的交于点B，令x=0得y=2．∴B（0，2）···················································1分∵22112(2)344yxxx∴A（—2，3）·················································3分（2）当点P是AB的延长线与x轴交点时，ABPBPA．···················································5分当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，在点P、A、B构成的三角形中，ABPBPA．Oyx11A．xyO11B．xyO11C．xyO11D．yxOyxOB．C．yxOA．yxOD．BOA·xy第28题图BOA·xy第28题图PH2124yxx11Oxy综合上述：PAPBAB≤···························································································7分（3）作直线AB交x轴于点P，由（2）可知：当PA—PB最大时，点P是所求的点······8分作AH⊥OP于H．∵BO⊥OP，∴△BOP∽△AHP∴AHHPBOOP··················································································································9分由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，∴OP=4，故P（4，0）································································································10分注：求出AB所在直线解析式后再求其与x轴交点P（4，0）等各种方法只要正确也相应给分．6.（12分）已知二次函数22aaxxy。（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。（2）设a0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式。（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为2133，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。解（1）因为△=04)2()2(422aaa所以不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。…………（2分）[来源:Z§xx§k.Com]（2）设x1、x2是022aaxxy的两个根，则axx21，221axx，因两交点的距离是13，所以13)(||22121xxxx。…………（4分）即：13)(221xx[来源:学科网ZXXK]变形为：134)(21221xxxx……………………………………（5分）所以：13)2(4)(2aa整理得：0)1)(5(aa解方程得：15或a又因为：a0所以：a=－1所以：此二次函数的解析式为32xxy…………………………（6分）（3）设点P的坐标为),(0yxo，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于13，所以：AB=13……………………………………………………………………（8分）yxBAOP所以：S△PAB=213||210yAB所以：2132||130y即：3||0y，则30y…………………………………（10分）当30y时，3320oxx，即0)2)(3(0oxx解此方程得：0x=－2或3当30y时，3320oxx，即0)1(0oxx解此方程得：0x=0或1……………………………………（11分）综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3),(3,3),(0,－3)或(1,－3)。…（12分）7．（本小题满分10分）直线)0(kbkxy与坐标轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是方程048142xx的两根（OBOA），动点P从O点出发，沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点P的运动时间为t(秒)，OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；[来源:学科网ZXXK]（3）当12S时，直接写出点P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．)6,0(),0,8(BA……………………….各1(1)分(2)∵8OA，6OB，∴10AB当点P在OB上运动时，tOP1，ttOPOAS4821211；..............1分当点P在BA上运动时，作OADP2于点D，有ABAPBODP22∵ttAP161062，∴53482tDP………………………1分∴51925125348821212ttDPOAS……………………1分（3）当124t时，3t，)3,0(1P，………………………………1分此时，过AOP各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M不存在；……………………………………………………………………………1分[来源:学|科|网Z|X|X|K]当125192512t时，11t，)3,4(2P，……………………1分此时，)3,0(1M、)6,0(2M………………………………………各1分注:本卷中各题,若有其它正确的解法,可酌情给分.8．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．(1)若m为常数，求抛物线的解析式；(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a．…………2分∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，∴C(m，－2)代入得a＝12．∴解析式为：y＝12(x－m)2－2．…………………………5分(亦可求C点，设顶点式)(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝12(x－m)2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分(3)由(1)得D(0，12m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分∴12m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分9．（本小题满分9分）已知：抛物线20yaxbxca的对称轴为1x，与x轴交于AB，两点，与y轴交于点C，其中3