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一．选择题（共2小题）1．如图，已知动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF•BE的值为（）A．4B．2C．1D．考点：反比例函数综合题。1077676专题：动点型。分析：由于P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．解答：解：∵P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），∴BN=1﹣，在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），∴NF=BN=1﹣，∴F点的坐标为（1﹣，），同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），∴AF2=（﹣）2+（）2=，BE2=（a）2+（﹣a）2=2a2，∴AF2•BE2=•2a2=1，即AF•BE=1．故选C．点评：本题的关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．2．如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（）©2010-2012菁优网A．B．C．D．考点：二次函数综合题。1077676分析：首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．解答：解：如图∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点，∴x2﹣x﹣=x﹣2，解得：x=1或x=，当x=1时，y=x﹣2=﹣1，当x=时，y=x﹣2=﹣，∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1），∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与x=的交点是E，与x轴的交点是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延长BB′，AA′相交于C，∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=，∴A′B′==．∴点P运动的总路径的长为．©2010-2012菁优网故选A．点评：此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．二．解答题（共28小题）6．（2004•长沙）如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连接AP，过P作∠APE=∠B，交DC于E．（1）求证：△ABP∽△PCE；（2）求等腰梯形的腰AB的长；（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由．考点：等腰梯形的性质；解分式方程；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质。1077676专题：几何综合题。分析：（1）欲证△ABP∽△PCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP；由此得证；（2）可过作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值；（3）在（2）中求得了AB的长，即可求出DE：EC=5：3时，DE、CE的值．设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据（1）的相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，由此可得出关于x的分式方程，若方程有解，则x的值即为BP的长．若方程无解，则说明不存在符合条件的P点．解答：（1）证明：由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；∵∠B=∠APE∴∠EPC=∠BAP∵∠B=∠C∴△ABP∽△PCE；（2）解：过A作AF⊥BC于F；∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm，∴BF=，Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2；∴AB=4cm；（3）解：存在这样的点P．©2010-2012菁优网理由是：∵解之得EC=cm．设BP=x，则PC=7﹣x由△ABP∽△PCE可得=，∵AB=4，PC=7﹣x，∴=解之得x1=1，x2=6，经检验都符合题意，即BP=1cm或BP=6cm．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及相似三角形的判定和性质．7．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论．考点：二次函数的应用；勾股定理；翻折变换（折叠问题）。1077676分析：（1）运用三角形相似，对应边比值相等即可解决，（2）运用三角形面积的关系得出，对应边的关系，即可解决，解答：（1）解：∵PE⊥CP，∴可得：△EAP∽△PDC，∴，又∵CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，∴，∴y=﹣，0＜x＜3；©2010-2012菁优网（2）解：当△PCD的面积是△AEP面积的4倍，则：相似比为2：1，∴，∵CD=2，∴AP=1，PD=2，∴PE=，PC=2，∴EC=．点评：此题主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面积比是相似比的平方．9．如图，在直角坐标系xoy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（其中A在原点左侧，B在原点右侧），C为抛物线上一点，且直线AC的解析式为y=mx+2m（m≠0），∠CAB=45°，tan∠COB=2．（1）求A、C的坐标；（2）求直线AC和抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD为梯形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题。1077676专题：综合题。分析：（1）已知了直线AC的解析式，可确定点A的坐标；过C作CM⊥x轴于M，在Rt△CAM中，AM=CM，而CM=2OB，由此可得AO=BO，根据A点坐标即可确定点C的坐标．（2）将C点坐标代入直线AC的解析式中，可求得m的值，进而确定直线AC的解析式；同理，将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得抛物线的解析式．（3）此题应分作两种情况考虑：①AB∥CD，此时CD与x轴平行，D、C两点关于抛物线的对称轴对称，因此D点坐标不难求得；②AD∥BC，首先根据抛物线的解析式求得点B坐标，进而可用待定系数法求得直线BC的解析式，由于直线AD与BC平行，因此它们的斜率相同，根据A点坐标即可确定直线AD的解析式，然后联立抛物线的解析式，即可求得交点D的坐标．（由于此题已告知四边形ABCD字母的书写顺序，因此无需考虑BD∥AC等情况．）解答：解：（1）直线AC：y=mx+2m（m≠0）中，当y=0时，mx+2m=0，m（x+2）=0，∵m≠0，∴x=﹣2；故A（﹣2，0）；过C作CM⊥x轴于M；Rt△CAM中，∠CAB=45°，则CM=AM；Rt△COM中，tan∠COM=2，则CM=2OM，©2010-2012菁优网故CM=2OM=2AM；∵OA=2，则OM=2，CM=4，C（2，4），∴A（﹣2，0），C（2，4）．（2）将点C坐标代入直线AC的解析式中，有：2m+2m=4，m=1，∴直线AC：y=x+2；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，有：，解得；∴抛物线：y=x2+x﹣2；故直线AC和抛物线的解析式分别为：y=x+2，y=x2+x﹣2．（3）存在满足条件的点D，其坐标为（﹣3，4）或（5，28）；理由：假设存在符合条件的点D，则有：①CD∥AB，由于AB≠CD，此时四边形ABCD是梯形；易知抛物线的对称性为：x=﹣；由于此时CD∥x轴，故C、D关于直线x=﹣对称，已知C（2，4），故D（﹣3，4）；②AD∥BC，显然BC≠AD，此时四边形ABCD是梯形；易知B（1，0），用待定系数法可求得：直线BC：y=4x﹣4；由于AD∥BC，可设直线AD的解析式为y=4x+h，则有：4×（﹣2）+h=0，即h=8；∴直线AD：y=4x+8；联立抛物线的解析式可得：，解得（舍去），，故D（5，28）；综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（﹣3，4）或（5，28）．点评：此题考查了函数图象与坐标轴交点的求法、解直角三角形、函数解析式的确定以及梯形的判定条件等知识©2010-2012菁优网点；要注意的是，在判定某个四边形为梯形时，一定要满足两个条件：①一组对边平行，②另一组对边不平行（或平行的对边不相等），两个条件缺一不可．12．（2012•赤峰）如图，抛物线y=x2﹣bx﹣5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF的解析式；（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题。1077676专题：代数几何综合题。分析：（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式；（2）根据点C、F关于对称轴对称可得点F的纵坐标与点C的纵坐标相等，设出点F的坐标为（x0，﹣5），代入抛物线求出点F的横坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可；（3）分①点P与点E重合时，△CFP是直角三角形，②CF是斜边时，过C作CP⊥AF于点P，然后根据点C、E、F的坐标求出PC=PF，从而求出点P在抛物线对称轴上，再根据抛物线的对称轴求解即可．解答：解：（1）∵y=x2﹣bx﹣5，∴|OC|=5，∵|OC|：|OA|=5：1，∴|OA|=1，即A（﹣1，0），…（2分）把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得（﹣1）2+b﹣5=0，解得b=4，抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5；…（4分）（2）∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5），设F（x0，﹣5），∴x02﹣4x0﹣5=﹣5，解得x0=0（舍去），或x0=4，∴F（4，﹣5），…（6分）∴对称轴为x=2，设直线AF的解析式为y=kx+b，把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得，©2010-2012菁优网解得，所以，直线FA的解析式为y=﹣x﹣1；…（8分）（3）存在．…（9分）理由如下：①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，∴E（0，﹣1），∴P（0，﹣1），…（10分）②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P（x1，﹣x1﹣1），∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），∴CE=CF，∴EP=PF，∴CP=PF，∴点P在抛物线的对称轴上，…（11分）∴x1=2，把x1=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3，∴P（2，﹣3），综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（2，﹣3）使△CFP是直角三角形．…（12分）点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数与坐标轴的交点的求解，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，以及到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上的性质，（3）中要注意分CF是直角边与斜边两种情况讨论求解．16．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2