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第十四章轴对称图形复习课如皋市新民初中初二数学备课组更多资源xiti123.taobao.com一、知识概况本章着重研究轴对称的概念，性质，轴对称的作图，应用，以及轴对称图形和几个常见的轴对称图形的性质和判定。如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。（一）轴对称和轴对称图形1、概念2、轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等；如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。（二）几个轴对称图形的性质：1、线段、射线、直线。线段是轴对称图形，它有两条对称轴，它的对称轴是它所在的直线，和线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。2、角：角是轴对称图形，它的对称轴是它的角平分线所在的直线。角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。3、等腰三角形→等边三角形4、等腰梯形从对称的角度理解等腰三角形和等腰梯形的性质和识别方法。5、正多边形6、圆二、重、难点剖析1、轴对称和轴对称图形的区别和联系。区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。对称轴只有一条。轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。对称轴可能会有多条。联系：两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。2、轴对称的性质和几个简单的轴对称图形的性质，是这部分的重点知识，应引起足够的重视。3、轴对称的实际应用应提高到足够的地位。4、用对称的眼光看问题，解决问题，指导辅助线的添加。例1：如图，如果△ACD的周长为17cm，△ABC的周长为25cm，根据这些条件，你可以求出哪条线段的长?EDCBA思路点拨：（1）△ACD的周长＝AD＋CD＋AC＝17；（2）△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝25；（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋CD＝AD＋BD＝AB。（4）由（2）－（1）得BC＝8cm.讲练平台小结点评：（2）当条件中有线段的垂直平分线时，要主动去寻找相等线段。（1）分析题意时，要将复杂条件简单化、具体化。例2：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，把△ADC沿直线AD折过来，C落在C′的位置，（1）在图中找出点C′，连结BC′；（2）如果BC＝4，求BC′的长。DCBA思路点拨：由于翻折后的图形与翻折前的图形关于折痕对称；所以C、C′关于直线AD对称，AD垂直平分CC′，DCBAC′又处于对称位置的元素（线段、角）对应相等，这为问题解决提供了条件。DCBAC′解：（1）画CO垂直AB，并延长到C′，使得OC′＝OC，点C′即为所求。O（2）连结C′D，由对称性得CD＝CD′，∠CDA＝∠CDA＝60°；所以∠BDC＝60°，所以，△C′BD是等边三角形，所以，BC′＝BD＝2。DCBAC′小结点评：1、翻折变换后得到的图形与原图形关于折痕对称；对应点的连线段被折痕垂直平分；2、解决翻折问题，要注意隐含在图形中的相等线段、相等角，全等三角形；因为一切处于对称位置的线段相等，角相等，三角形全等。3、从对称角度完善图形，让隐含条件显现出来，这是这部分题目添加辅助线的一个重要规律。练习1．将一正方形纸片按图中⑴、⑵的方式依次对折后，再沿⑶中的虚线裁剪，最后将⑷中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的()课堂练习ABCD小结点评：这类问题主要训练空间想象能力。我们可以实际操作，也可以倒推，还可以在头脑中进行思维实验，不过后者能力的要求比较高。例3．如图，△ABC和△A’B’C’关于直线MN对称，△A’B’C’和△A’’B’’C’’关于直线EF对称。（1）画出直线EF；ANMBCA’A’’B’B’’C’C’’ANMBCA’A’’B’B’’C’C’’ANMBCA’A’’B’B’’C’C’’思路点拨：由于连结对称点的线段被对称轴垂直平分，所以连结对称点的线段，作其垂直平分线，即为两个图形的对称轴。（2）直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB’’与直线MN、EF所夹锐角α的数量关系。ANMBCA’A’’B’B’’C’C’’ANMBCA’A’’B’B’’C’C’’ANMBCA’A’’B’B’’C’C’’思路点拨：OEF从对称角度来看，连结OB、OB”的对称线段OB′，可以得到两组角相等，问题容易得到解决。ANMBCA’A’’B’B’’C’C’’ANMBCA’A’’B’B’’C’C’’ANMBCA’A’’B’B’’C’C’’结B’O。∵△ABC和△A’B’C’关于MN对称，∴∠BOM=∠B’OM又∵△A’B’C’和△A’’B’’C’’关于EF对称，∴∠B’OE＝∠B’’OE。∴∠BOB’’=∠BOM+∠B’OM+∠B’OE+∠B’’OE=2（∠B’OM＋∠B’OE）＝2α。即∠BOB’’＝2α解：（1）如图，连结B’B’’。作线段B’B’’的垂直平分线EF。则直线EF是△A’B’C’和△A’’B’’C’’的对称轴。OEF小结点评：（1）作两个成对称图形的对称轴，只需将对称点的垂直平分线作出即可。（2）成轴对称的两个图形的对应元素相等是解题的关键。（3）补全对称图形中所缺的部分，是添加辅助线的重要思考方向。例4：如下图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：小结点评：设计图案问题，要注意设计的要求，注意从多个角度思考问题，本题中的对称轴的位置可以是水平的，也可以是竖直的，还可以是斜的，特别是后者，我们常常容易忽视。做完这类题目，还要注意检验，看是否符合题目的全部要求。练习2．如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q。若击打小球P经过球台的边AB反弹后，恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准AB边上的（）A、O1点B、O2点C、O3点D、O4点B例5、已知：如图，CD是RtΔABC斜边上的高，∠A的平分线AE交CD于点F。求证：CE＝CF。EACBFD更多资源xiti123.taobao.com思路点拨：EACBFD思路1：（1）从结论出发：要得到CE＝CF，只要有∠CEF＝CFE；（2）从条件出发：条件有：∠CAF＝∠BAF；CD⊥AB；∠ACB＝90°。图3图2图1ABCDABCFFEDCBA（3）从图形出发：∠CAF＝∠BAF∠ACD＝∠BCD⊥AB∠ACB＝90°∠CAF＋∠ACD＝∠BAF＋∠B∠CEF＝CFECE＝CFFEDCBAABCDEFG思路2：因为图形中有角平分线，且FC⊥AC，考虑用角平分线的性质，补全所缺的部分，过F作FG⊥AB。小结点评：1、对于复杂的推理问题，学会分析方法很重要。一般可以从结论出发倒推（分析法），可以从条件出发顺推（综合法），也可以从两头同时出发（两头凑）寻找解题途径。2、分析图形，是解题的关键。其实质是分解图形，重新组合图形，挖掘图形和题目中的隐含条件。自主探究享受学习