初中数学几类最值求法

1ABCDOS2S1初初中中数数学学中中几几类类最最值值求求法法初中数学中有许多求最值的问题，其基本的思路和方法大致有以下三种。一、一次函数与二次函数求最值一般来说一次函数(0)ykxbk,对自变量x的取值范围没有限制，它不存在最值，若限制自变量的取值范围为12xxx，当0(0)kk时，1xx取最小(大)值，2xx时取最大(小)值。对于二次函数2(0)yaxbxca,当0(0)aa,2bxa时在其顶点取最小(大)值,这类习题在教材中很多，这里不再举例赘述。二、利用不等式“222abab或2abab，此两不等式当且仅当ab时取等号”求最值。此两不等式的证明可由2()0ab和2()0ab展开移项而得。例1：如图4AOBS,9CODS,则四边形ABCD的面积最小值为___。解：1AODSS,2CODSS因为21AOBCODSSOBSODS,所以124936AOBCODSSSS12AOBCODABCDSSSSS四边形1249SS因为121222612SSSS所以491225ABCDS四边形例2：如图是一架不等臂天平，第一次在左侧放质量为m克的物体，右侧放火50克法码，第二次在左侧放质量为50克的物体，右侧放m克法码，则mm（）(A)不小于100克(B)大于100克(C)不小于150克(D)大于150克2解：设1AOl，2BOl,由平衡原理可得1250mll,1250lml,即2150lml,1250lml∵21125050llll,2211212505050502100lllllmmllll,所以选（B）不等式“2abab，在求最小值时非常有用，但是要注意等号成立的条件,例如本题中由于12ll，所以mm取值大于100，而不能取等号，这一点要特别注意。例3：矩形ＡBCD的周长为定值2l,过AB两点作⊙o，并使⊙o与CD相切于H点，ADx（1）求⊙o的半径r与x之间的关系.（2）当x取何值时，r取最小值,最小值为多少？解：（1）如图连OH，并延长HO交AB于G，作OE⊥AD，连AO∵CD是⊙O切线∴OH=r,OH⊥CD∵AB∥CD∴OG⊥AB,AG=21AB∵AD=x∴ＡE＝xr，AB=222xl=lx。在Rt△AEO中,AO=r,AE=xr，OE=AG=2xl由勾股定理可得222()()2lxrxr整理可得：25884llrxx。(2)在r与x的函数关系中4l是定值，当2588lxx取最小值时，r取最小值时，设2588lrxx由不等式2abab可得2588lrxx≥25288xlx=54l，ABOmm50AO50mABCDoEGHB3当且仅当2588lxx,即55xl时,514rl最小值。三、利用三角函数的有界性求最值当090时,0sin1,20sin1,当0时sin0，2sin0;当90时sin1，2sin1，为此需要建立以角为变量的函数关系。例4：如图AB是半⊙O的直径，定长为2a的弦CD的两端C、D在半圆上滑动，过C作CE⊥AB，垂足为E，过D作DF⊥AB，垂足为F，M为CD的中点。（1）判定△MEF的形状，并证明你的结论。（2）设半⊙O的半径为r，当CD处在何位置时△MEF的面积最大，最大值为多少？解：（1）△MEF是等腰三角形略证：作MH⊥EF，由题设可得CE∥DF∥MH，CM=DM∴EH=FH∴MH是EF的垂直平分线，∴EM=FM。(2）连OM，则OM⊥CD,易知∠CDF+∠DCE=180,∠MOE+∠DCE=180则∠CDF=∠MOH,设∠CDF=∠MOH=连OC，作CG⊥DF，∵M是CD的中点,由垂径定理可知OM⊥CD，在Rt△MOC中22sinsinMHOMra，在Rt△CDG中2sinCGa，∴2sinEFa.22112sinsin22MEFSEFMHara222sinara，由三角函数的有界性可知2sin1,当90时2sin1，故MEFS的最大值为22ara，此时CDAB.ABEHOFGCMD