初中数学培优辅导资料(34—38)讲

初中数学竞赛辅导帮邦教育1初中数学竞赛辅导资料（34）反证法内容提要1.反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。2.一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→BAB例如原命题：对顶角相等(真命题)逆否命题：不相等的角不可能是对顶角(真命题)又如原命题：同位角相等，两直线平行(真命题)逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等(真命题)3.用反证法证明命题，一般有三个步骤：①反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）②归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）③结论从而得出命题结论正确例如：求证两直线平行。用反证法证明时①假设这两直线不平行；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从而肯定，非平行不可。例题例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图∠1＝∠2A1B求证：AB∥CD证明：设AB与CD不平行C2D那么它们必相交，设交点为MD这时，∠1是△GHM的外角A1MB∴∠1＞∠2G这与已知条件相矛盾2∴AB与CD不平行的假设不能成立H∴AB∥CDC例2.求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。例3.已知：m2是3的倍数，求证：m也是3的倍数证明：设m不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m=3k+2(k是整数)当m=3k+1时，m2＝（3k+1）2＝9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1当m=3k+2时，m2＝（3k+2）2＝9k2＋12k+4=3(3k2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。∴m2是3的倍数时，m也是3的倍数例4.求证：2不是有理数初中数学竞赛辅导帮邦教育2证明：假设2是有理数，那么2＝ba（a,b是互质的整数），∵ba=2,∴（ba）2＝2，a2=2b2,∴a2是偶数，∵a2是偶数，∴a也是偶数，设a=2k（k是整数）,a2=4k2,∵由a2=2b2,得b2=21a2=2k2,b2是偶数，∴b也是偶数那么a、b都是偶数，这和“a,b是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成立∴2不是有理数例5.若n是正整数，则分数314421nn是既约分数（即最简分数，分子与分母没有公约数）证明：设314421nn不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约数为k（k≠1）,且k,a,b都是正整数，即143214314421bknaknbknakn∴214ak＝143bk，3bk-2ak=1,(3b-2a)k=1∵整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是±1时，积才能等于1∴3b-2a=±1,k=±1∴分子、分母有公约数的假设不能成立因此分数314421nn是既约分数练习341.写出下列各命题结论的反面：2.已知：平面内三个点A，B，C满足AB＋BC＝AC，命题的结论结论的反面①直线a∥b②线段m=n③a2是偶数④∠A是锐角⑤点A在⊙O上⑥∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60⑦正整数m是5的倍数⑧方程没有有理数根⑨至少有一个方程两根不相等初中数学竞赛辅导帮邦教育3求证：A，B，C三点在同一直线上3.求证：等腰三角形的底角是锐角4.求证：一个圆的圆心只有一个5.求证：三角形至少有一个内角大于或等于60度6.如果a2奇数，那么a也是奇数（仿例3）7.求证：没有一个有理数的平方等于3(仿例4)8.已知a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2(即a,b,c是勾股数)求证①a,b,c至少有一个偶数②a,b,c中至少有一个能被3整除9.求证二元一次方程8x+15y=50没有正整数解10.求证方程x2+y2=1991没有整数解11.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多12.已知：四边形ABCD中，AB+BD≤AC+CD求证：ABAC13.已知：抛物线y=x2－(m－3)x－m求证：m不论取什么值，抛物线与x轴的两个交点，不可能都落在正半轴上(福建省1988年中招考试题）14.若a,b,c都是奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根15平面内7个点，它们之间的距离都不相等，求证不存在6个点到第7个点的距离都小于这6个点彼此之间的距离16.已知：a,b,c为实数，a=b+c+1求证：两个方程：x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根（1990年泉州市初二数学双基赛题）初中数学竞赛辅导资料（35）两种对称内容提要1.轴对称和中心对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心2.轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。3.性质：①成轴对称或中心对称的两个图形是全等形②对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上4.常见的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆等；中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等例题例1.求证：若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则它的中位线与高相等证明：∵等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线MN是它的对称轴，对应线段AC和BD初中数学竞赛辅导帮邦教育4的交点O，在对称轴MN上∵AC⊥BDDNC∴△AOB和△COD都是等腰直角三角形，OM和ON是它们的斜边中线O∴OM＝21AB，ON＝21CD∴MN＝21（AB＋CD）AMB∴梯形中位线与高相等例2.已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，将矩形折叠，使点C和点A重合，求折痕EF的长解：∵折痕EF是对称点连线AC的中垂线连结AE，AE＝CE，设AE＝x,则BE＝8－x在R△ABE中，x2=(8-x)2+62解得x=425，即AE＝425在Rt△AOE中，OE＝225)425(＝415EF＝2OE＝7.5例3.已知：△ABC中，AB＝AC,过点A的直线MN∥BC，点P是MN上的任意点求证：PB＋PC≥2AB证明：当点P在MN上与点A重合时，PB＋PC＝AB＋AC，即PB＋PC＝2AB当P不与A重合时作点C关于直线MN的对称点C，则PC，＝PC，AC，＝AC＝AB∠PAC，＝∠PAC＝∠ACB∴∠PAC，＋∠PAC＋∠BAC＝180∴B，A，C，三点在同一直线上∵PB＋PC，＞BC，，即PB＋PC＞2AB∴PB＋PC≥2AB例4.已知：平行四边形ABCD外一点P0，点P0关于点A的对称点P1，P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，P3关于点D的对称点P4求证：P4与P0重合证明：（用同一法）顺次连结P0，P1，P2，P3，P4，根据中心对称图形性质，点A，B，C，D分别为P0P1，P1P2，P2P3，P3P4的中点AB∥P0P2∥CD连结P0P3，取P0P3的中点D，，连结D，C，则D，C∥P0P2D,P4P3P2P1P0ABCDABCDOFEC,ABCNMP初中数学竞赛辅导帮邦教育5∴CD，和CD重合，∴P4和P0重合例5.正方形ABCD的边长为a求内接正三角形AEF的边长解：∵正方形ABCD和等边三角形AEF都是轴对称图形，直线AC是它的公共对称轴，可知△ABE≌△ADF∴BE＝DF，CE＝CF设等边三角形AEF边长为x，根据勾股定理得CE2＋CF2＝x2,CE=x22,BE=a－x22在Rt△ABE中，x2=(a－x22)2+a2x2+22ax－4a2=0由根公式舍去负根，得x=(2-6)a答：等边△AEF的边长是(2-6)a练习351.下列图形属轴对称而不是中心对称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿属中心对称而不是轴对称图形的有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿既是轴对称又是中心对称的图形有＿＿＿＿＿＿＿＿＿①线段②角③等腰三角形④等腰梯形⑤矩形⑥菱形⑦平行四边形⑧正三角形⑨正方形⑩圆2.坐标平面内，点A的坐标是（x＋a，y－b）那么①点A关于横轴的对称点B的坐标是（）②点A关于纵轴的对称点C的坐标是（）③点A关于原点的对称点D的坐标是（）3.坐标平面内，点M（a,－b）与点N（－a,b）是关于＿＿＿的对称点点P（m－3,n）与点Q（3－m,n）是关于＿＿＿的对称点4.已知：直线m的同一侧有两个点A和B求作：在m上一点P，使PA＋PB为最小5.已知：等边△ABC求作：点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形（本题有10个解，至少作出4个点P）6.求证：等腰梯形两腰的延长线的交点，对角线的交点，两底中点，这四点在同一直线上（用轴对称性质）7.已知：△ABC中，BC＞AC，从点A作∠C平分线的垂线段AD，点E是AB的中点求证：DE＝21（BC－AC）（1991年德化县初中数学竞赛题）8.已知：△ABC中，AB＝AC，BD是角平分线，BC＝AB＋ADa-2x2xaABCDEFmABABC初中数学竞赛辅导帮邦教育6求：∠C的度数（90年泉州市双基赛题）9.已知：正方形ABCD中，AB＝12，P在BC上，且BP＝5，把正方形折叠使点A和点P重合，求：折痕EF的长10.平行四边形ABCD的周长是18cm,∠A和∠B的平分线相交于M，点O是对称中心，OM＝1cm，求各边长11.△ABC中，∠B＝2∠C，AD是角平分线，E是BC的中点，EF⊥AD和AB的延长线交于点F求证BD＝2BF（创建轴对称图形，过点C作CG∥BC交AB延长线于G）12.正方形ABCD的边长为a,形内一点P，P到AB两端及边BC的距离都相等，求这个距离。13.求证一组对角相等且这组对角顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（1988年全国初中联赛题）提示：用反证法，作△ABD关于点O（对角线交点）的对称三角形14矩形ABCD中，边AB＝3，对角线AC=2，在矩形内⊙O1和BC、AC分别切于点E，F，⊙O2与AD，AC分别切于M，N①求：∠ACB与∠O2AN的度数②如果折叠矩形后(折痕为AC)，点O2落在AB边上的点K处：⑴在图上画出点K确切位置，并说明理由；⑵设⊙O1，⊙O2的半径都等于R，试求折叠矩形后，两圆外离时的圆心距与R的取值范围。(1996年泉州市中考题)15.已知：AD是△ABC的外角平分线，点这P在射线AD上求证：PB+PC≥AB+AC16.已知：坐标平面内，点A关于横轴的对称点为B，点A关于原点的对称点为C求证：点B和点C是关于纵轴的对称点17.已知：AD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，BM，BN三等分∠ABC并和AD顺次交于M，N，连结并延长CN交AB于E，求证：EM∥BN初中数学竞赛辅导帮邦教育7初中数学竞赛辅导资料（36）三点共线内容提要1.要证明A，B，C三点在同一直线上，A。B。C。常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角②连结AB，AC证明AB，AC重合③连结AB，BC，AC证明AB＋BC＝AC④连结并延长AB证明延长线经过点C2.证明三点共线常用的定理有：①过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行②经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直③三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半④梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半⑤两圆相切，切点在连心线上⑥轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上例