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初中数学个人珍藏变量与函数教学目标1．引导学生在探索实际问题中的数量关系和变化规律中，自主建构常量与变量的概念、函数的定义，渗透函数的三种表示法2．引导学生例举、研讨，体会“变化与对应的思想，深化对函数概念实质的认识，体验函数是研究运动变化的重要数学模型，记法学习兴趣和学习积极主动性3．培养学生的观察、比较、分析、归纳、概括能力教学重点函数概念教学难点建立函数概念（由具体实例逐步过渡到抽象定义.）教学过程一、通过实例揭示常量与变量的概念引入：（感受自然）请各位同学欣赏一幅图，也是书本第十四章的章头图．画面上的景色很美．请大家发挥想象力，让这幅图“动”起来．告诉老师你看到的是什么？山上积雪的融化，林中歌唱的小鸟，流动的湖水，飘动的白云，艰难前行的登山运动员等等．气温随着海拔高度的升高而降低．大自然一片生机勃勃的景象——一个变化的世界．在事物的变化过程中，有些量是按照某种规律变化，有些量的数值是始终不变的．（体验生活）大家都有这样的生活经历：打开水龙头向水壶中注水的过程中，什么不变？什么在变？水壶的容积、水流的速度始终不变；注水的时间、水壶中水的高度和注入水壶的水量都在发生变化．水壶中水的高度随着注水的时间变化而变化；水壶中水的水量随着注水的时间变化而变化；水壶中水的水量随着水壶中水的高度变化而变化.概括：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．现实生活中存在大量的变化过程，请学生举出这样的一些例子：圆的面积与半径，水库储水量与水深，一天中气温与时间等．——其中的变量是什么二、提供实例，引导学生分析变化过程中的数量关系和变化规律，渗透函数概念的实质，为概括函数定义奠定基础情境1（1）登山队从大本营出发，在一段时间内（t≤1.5），上山的平均速度是3千米／小时，攀登的时间为t、攀登的路程为s，在这个变化过程中，常量是什么？变量时什么？两个变量之间有怎样的联系？用什么样的式子表示？解：在这个变化过程中，v（3km/h）是常量，路程s、时间t是变量.初中数学个人珍藏s=3t(t≤1.5)或t=3s(s≤4.5)当t=0.5，s=1.5；当s=1时，t=31；t=1，s=3；s=3时，t=1；①t取一个值，s怎样呢？（有且只有一个与其对应）②对于范围内，每一个t的值是不是都是这样？对于变量t的每一个确定的值，对于变量s的每一个确定的值另一个变量s都有唯一确定的值与t对应另一个变量t都有唯一确定的值与s对应这就是说，在同一个变化过程中，变量s和t之间不是孤立的，而是互相联系的，一个变量t（或s）的变化会引起另一个变量s（或t）的相应变化，这些变化之间存在对应关系．（2）登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃，在这个变化过程中，常量是什么？变量时什么？两个变量之间有怎样的联系？用什么样的式子表示？解：在这个变化过程中，大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃是常量，高度x、气温y是变量.y=-6x+5或x=56y（x=656y）当x=0时，y=5；当y=-1时，x=1；x=1时，y=-1；y=-7时，x=2；对于变量x的每一个确定的值，对于变量y的每一个确定的值另一个变量y都有唯一确定的值与x对应另一个变量x都有唯一确定的值与y对应在同一个变化过程中，变量的值之间存在对应关系情境2下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？在这个表格中，年份与人口数是这个变化过程中的两个变量，对于表中每一个确定的年份，都对应着一个确定的人口数．例如：在1984年，人口数是10.34亿；在1989年，人口数是11.06亿．情境3如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天的气温变化，其中图上点的横坐标t表示时间，纵坐标T表示气温，它们是两个变量.在图中，对于t的每一个确定的值，T都有一个确定的对应值吗？单值对应初中数学个人珍藏通过看图，我们能直观地看出这一时间段中的每一时刻的温度例如：4点—-3OC，14点—8OC在这个温度随着时间变化的过程中，涉及到时间t和温度T两个变量，通过坐标系中曲线上点的坐标反映了变量之间的对应关系，只要t（时间）的值确定，变量T（温度）的值也随之而确定．（从图象中可以看出非整点时刻的大约气温，也可以看出变化规律）三、引导学生概括函数、函数值的定义及其表示法以上几个问题的实际背景是不同的，但它们却有一些共同点，请同学们分析1.剖析三个问题的共同点，揭示函数定义的实质（1）在一个变化过程中；（2）有两个变量；（3）对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与其对应这时另一个变量就是这个变量的函数，我们今天这堂课的课题是“变量与函数”2.函数定义在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．3.函数值如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．例如，在s=5t中，当t=1时，s=5，5是自变量t=1时的函数值.函数是对变量而言的．函数值是对具体数值而言的．4.数学文化：函数演变经过了几个阶段，17世纪的几何函数，18世纪代数函数，19世纪的对应函数，20世纪的集合函数．5.函数的三种表示形式：函数作为研究问题的一种方法思想，由以上几个实例可知，反映两个变量的对应关系的形式有三种：实例1是列式、实例2是列表、实例3是图象，三种形式都体现了函数思想，图象研究“形”，列式、列表研究“数”，这是三大数学思想中的数形结合的思想方法，四、体验用函数解决问题通过列表、画图的形式表示登山队从大本营出发，他们所在位置的气温y（℃）随着登山队员由大本营向上登高的高度x（km）的变化而变化．列表：x/km11.522.53y/℃-1-4-7-10-13图象：认识获得图象的过程情境3如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天的气温变化，其中图上点的横坐标t表示时间，纵坐标T表示气温，它们是两个变量.在图中，对于t的每一个确初中数学个人珍藏定的值，T都有一个确定的对应值吗？这条曲线是怎么得到的呢？气象工作者告诉我们：在0时，测得气温是1.5℃，把t=0，T=2分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的一个点（0,2）；在4时，测得气温是-3℃，又在坐标平面内描出另一个点（4，-3）…实际用仪器测量时，时间间隔很短很短，这样，在坐标平面内描出的点很多很多，这些点集合起来，形成图中的曲线，也就获得了函数的图象．函数的图象是点的集合，是符合什么条件的点的集合呢？每一个点的坐标必须是函数的一对对应值；函数的每一对对应值都对应着图象上的点.结合学生前面所学的有序数对及平面直角坐标系的知识，把表格中的x记为横坐标，y记为纵坐标．通过描点让学生观察图形．可以通过几何画板来模拟．五、教师给出实例，引导学生分析研究问题中的变量间是否是函数关系（突出函数定义中“一个变化过程中”，“两个变量”，“单值对应”）例1一场电影售出若干张电影票，每张电影票的售价为10元(1)一场电影票房收入y元与售出票数x张的关系式_______，常量是________,变量是_________;(2)y是否为x的函数？(3)若售出票数120张，票房收入______元；若票房收入1600元，售出票数____张．(4)x是y的函数吗？【（1）y=10x，常量是10，变量是y，x（2）根据函数定义知y是x的函数，（3）当x=120时，y=120×10=1200（元）；当y=1600元时，10x=1600，x=160（张）(4)根据函数定义知,因为x=5y所以x也是y的函数.】例2体检时的一张心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，纵向y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量，y是x的函数关系吗？为什么？o15xy初中数学个人珍藏（在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值，所以y是x的函数）例3下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）（A）（B）（C）（D）(图D中的曲线不能表示y是x的函数因为在图D中，当x=a时，y不是都只有唯一确定的对应值，例如，x=0时，对应的y的值有3个．）总结：辨别变量之间是否存在函数关系，应根据函数的定义中的三个要点：（1）在同一个变化过程中；（2）两个相关的变量；（3）单值对应六、师生共同小结1．函数定义中的三个要点，函数概念的实质就是运动变化与联系对应；两个变量之间是单值对应的2.函数的三种形式3.研究函数的意义：许多客观事物必须从运动变化的角度去研究．因为日常生活中许多问题中的各种变量是相互关联的，而且变量之间存在对应规律，其中单值对应关系，刻画这种关系的数学模型就是函数．随着学习的深入，会越来越理解这点．4.研究问题的几种思想：数形结合的思想，函数思想，几何思想，代数思想等．七、课外作业1.列举你熟知的生活中存在的函数关系的实例三例．并说明其中自变量、函数、对应关系及表达式．2.三角形的底边长为4cm．（1）写出面积S随高h变化的函数关系式；（2）指出其中的自变量和自变量的函数（3）当h=4cm，S等于多少？（4）若S=12cm2，则h等于多少？3.已知函数y=112xx（1）求当x=0,1时的函数值（2）当x取什么值时，函数值为1？4.一家电信公司给顾客提供上网费的两种计算方式；方式A以每分钟0.1元的价格按上xyoxyxyoxyoo初中数学个人珍藏时间计算；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计算．上网时间为x分钟，方式A的计费记为y1元，方式B的计费记为y2元．分别求出y1与x之间的函数关系式，y2与x之间的函数关系式．板书:变量与函数设计思路：本设计的总体思路是：生活中找数学（发现数学）——情境中问数学（建立模型）——实践中用数学（分析、应用、拓展）——趣味中玩数学（数学外延）通过感受自然和体验生活两个步骤感受万物皆变．现实是在变化的，是“动”的，正是它们丰富了抽象函数的现实背景，是函数概念诞生的基础．通过情境1、情境2和情境3，归纳：（1）在一个变化过程中；（2）有两个变量；（3）对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与其对应．学会归纳，找出相互之间的联系，教会学生分析的方法．函数概念的给出在学生归纳的基础上，符合学生建构知识的需求，将新知识的学习建立在学生原有知识和经验上．其中函数概念的发展历史的介绍，属于数学文化，让学生更多的了解前人研究问题的方法思想演变过程，看到前人所做的努力．美国著名的数学家波利亚说过：“如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了．”学生轻易获取的知识，并不有利于今后的发展，通过这段历史，学生有了这种情感体验，就会不断去追求，使自己的学习走向深入，就会感受到数学的伟大．函数的表示方法，有列表法、解析式法、图象法，渗透数形结合的思想，培养学生用图象来描述函数的意识．其中重点介绍了图象的生成，突出了图象是点的结合．三个例题主要通过教师给出的实例，引导学生分析研究问题中的变量间是否是函数关系．最后的小结，知识是一方面，凸显的是方法和思想的总结，希望学生可以在后续的学习中注意方法思想的应用课外作业注意联系生活，从生活中提炼的数学知识，还应用于数学，这样就丰富了学习数学的背景，数学更加鲜活．“数”变化的世界变量及其关系表示方法函数①在一个变化过程中；②有两个变量；③对于一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与其对应——单值对应列表法解析式法方法图象法建立数学模型“形”