初中数学探索规律--几何部分

初中数学探索规律题（几何部分）七年级（1,2）班2013.10.20【版权所有,未经允许,不得翻印】我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．第一部分．数列1.等差数列（y=a+nx）例1.用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下规律，拼成若干个图案：（1）第四个图案中有白色地砖块；（2）第个图案中有白色地砖块；例2某广场要做一个正六边形的花坛,每条边(包括两个顶点)有n(n1)盆花,设这个花坛边上的花盆的总数为S,请观察图中的规律:n……第10题图第三个第二个第一个按上规律推断,S与n的关系是_________________________。例3如图5，四边形ABCD是梯形（标注的数字为边长），按图中所示的规律，用2013个这样的梯形镶嵌而成的四边形的周长是__________.例4.用火柴棒按如图方式摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第4个图形需要根火柴棒，第n个图形需要根火柴棒（用含n的代数式表示）.例5、学校阅览室有能坐6人的方桌，如果多于6人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐10人（如图12所示）．若按这种方式摆放10张长桌（如图3），可同时容纳的人数是()n=4，S=18n=3，S=12n=2，S=61211DCBA图5…………(1)(2)(3)例4图例6.观察图（l）至（4），按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则m=（用含n的代数式表示）.”例7.右图是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1，回形线与射线OA交于点A1，A2，A3，…。若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，……，依此类推。则第10圈的长为。2.其他数列例1下面是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子；（2）第n个“上”字需用枚棋子．例2..我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出右表，此表揭示了nba)(（n为非负数）展开式的各项系数的规律。例如：1)(0ba，它只有一项，系数为1；baba1)(，它有两项，系数分别为1，12222)(bababa，有三项，系数为1，2，1；3223333)(babbaaba，它有四项，系数分别为1，3，3，1；根据以上规律，4)(ba展开式共有五项，系数分别为。例3.在抗击“非典”的斗争中，某市根据疫情的发展状况，决定全市中、小学放假两周，以切实保障广大中、小学生的安全．郯城四中七（1,2）班的全体同学在自主完成学习任务的同时，不忘关心同学们的安危，两周内各班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高．如果七(1)班有24名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？如果七(2)班有25名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？例4．科学研究发现：植物的花瓣、片、果实的数目以及其它方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——裴波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是.例5.某种树木的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年时，树木的分枝数为.年份分枝数第1年1第2年1第3年2第4年3第5年5例6、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条．如下面的草图所示：这样捏合到第次后可拉出128根细面条．例8．右边给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，发现这三个数的和不可能是（）A．69B．54C．27D．40例9.如图是2013年10月份的日历，现用一个矩形在日历中任意框出4个日期,利用等式表示a、b、c、d之间的关系为日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031abcd日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031……第三次捏合后第一次捏合后第二次捏合后例10.下图的数阵是由全体奇数排成（1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；（3）这九个数之和能等于1998吗？2005，1017呢？若能，请写出这九个数中最小的一个，若不能，请说出理由。例11、正△ABC的面积是4，顺次连接各边中点得△111CBA，顺次连接△111CBA各边中点得△222CBA，…，如此下去得△nnnCBA。1）△111CBA的面积是△222CBA的面积是2）△777CBA的面积是△nnnCBA的面积是例12.一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中该正方体A、B、C三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是．图中有规律哟！例13.．自然数中有许多奇妙而有趣的现象，很多秘密等待着我们去探索！比如：对任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以3后加上1，多次重复这种操作运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数R，它会掉入一个数字“陷井”，永远也别想逃出来，没有一个自然数能逃出它的“魔掌”．那么最终掉入“陷井”的这个固定不变的数R＝____．例14、探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝，我们称它为数字“黑洞”．T为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！3.循环规律例1.观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个．例2.如图，一个机器人从O出发向正东方向走3m到达1A点，再向正北方向走6m到达2A点，再向正西方向走9m到达3A点，再向正南方向走12m到达4A点，再向正东方向走15m，到达5A，按此规律走下去。当机器人到6A时，它应向走m。北西东南A1A2A3A5OA4A6第二部分数列求和例1.图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层，第n层的小正方体的个数为s．解答下列问题：（1）按照要求填表：（2）写出当n=10时，s=例2.、如下图，一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，以此类推。⑴填写下表：最外层每边对应点数（x）12345每个点阵点的总数（y）⑵若一个点阵点的总数为721，你知道它最外层有几个点吗？请说明理由。n1234…s136…n1234…s136…n1234…s136…n1234…s136…图1图2图3…****************************************************************……例3.如下图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要枚棋子例4.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.例5.(2005年大连市中考题)在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。（1）请你利用这个几何图形求的值为。（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。(1)(2)(3)例3图…………①1=12；②1+3=22；③1+3+5=32；④；⑤；解析：【例5】(1)（2）可设计如图1，图2，图3，图4所示的方案：例6.观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。