初中数学教学论文关于化归思想的分析与应用

1关于化归思想的分析与应用【摘要】解数学问题，往往可以有众多的方式和方法，而在这些方式方法中基本都有一个共同的和重要的特点，那就是化归.化归是人们解决问题首先考虑的方法.也是数学思想中一种最基本，最典型的方法，本文从渗透在教材中的化归思想出发，结合例题阐述了化归思想，化归策略，化归的具体方法.从而体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位.【关键词】化归思想化归策略化归方法所谓化归，就是转化和归结的意思，数学中的化归方法就是将一个新的，有待解决的或者还没解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段或方法.化归的方向可以简述为：由未知化为已知，由困难化为容易，由繁琐化为简洁.在具体化归的时候一般应遵循三个原则，分别是:熟悉性原则，简单性原则，直观性原则.也可以简述为：把实际问题化为数学问题，把数学问题化为代数问题，把代数问题化为解方程的问题.义务教育大纲明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分以来，数学教学中如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法、如何有效地进行数学思想方法教学、如何培养和发展学生的数学思想已经成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一项重要课题.在新课程中，化归的思想在教材中的体现是丰富多彩，在整个初中阶段几乎我们在解决新的问题都用了化归的思想，将不熟悉的问题化归为熟悉的问题，所以在教学的过程中我们应该从深层去揭示数学例题的实质，让学生从学习中去领悟数学思想去感受数学方法论，提高对数学的审美观.新课标不同于过去的数学教学大纲，不再是一系列的知识点的罗列，而是把数学看成人类创造的“活生生”的思维活动，而不是“天上掉下来”的教条.数学内涵丰富了，学生易于亲近了，学习的积极性提高了，数学教学的效能也自然提高了.一、化归在教材中的渗透1、化归思想在代数运算方面的渗透：有理数的运算：例：232(3)1；133262这是初中阶段最基础的有理数的运算，从这个例题中我们可以看出化归在这里已经体现出来了，我们学习有理数的运算是先学加法运算，而减法运算是通过化归成已学习的加法来运算。同理，在学了乘法的基础上如何计算除法呢，同样我们将陌生的除法转化为熟悉学过的乘法运算.解二元一次方程组34(1)1(2)xyxy分析：（1）式—（2）式得2y=3,32y,将32y代入（2）式得到12x1232xy2利用消元解二元一次方程，实质就是将不熟悉的二元一次方程组化归为我们已经熟悉的一元一次方程.分式方程整式化、无理方程有理化,实现新知识向已知知识块的转化.教材中的分式方程按去分母后的形式分为可化为一元一次方程的分式方式和可化为一元二次方程的分式方程，前者安排在七年级上，后者安排在八年级下。从此可以看出把分式方程转化为整式方程这一已知的知识模块是解分式方程的基本思路.初中教材中的无理方程基本上都可以通过对方程两边进行平方或是换元把它转化为整式方程中的一元一次方程或是一元二次方程，从而使无理方程转化为有理方程这一已知的模块，从而得到求解.2、化归思想在几何教学中的渗透与应用平面几何从定义、定理到立体、习题等许多地方都体现出了化归思想。在四边形中研究有关边、角的数量关系时，经常通过作辅助图形化归成三角形的有关知识来解决，对正多边形的有关计算可以化归为直角三角形中的有关计算。学习正多边形和圆的位置关系后，正多边形的作法可化归成等分圆周来解决；求圆柱、圆锥的侧面积可化归为计算矩形、扇形面积等。以上这些都是化归思想在教材中的体现。在新教材中，对圆周角定理的证明，就充分体现了化归的思想方法.3、化归思想在解析几何教学中的渗透与应用在教学“函数及图象”中的求两直线的交点问题，化归思想体现在以下方面：将求两直线交点问题化归为求方程组的解集.两直线Ｌ１和Ｌ２的交点为Ａ（ｘ１，ｙ２），说明点Ａ（ｘ１，ｙ２）即在Ｌ１上又在Ｌ２上，故其坐标（ｘ１，ｙ２）即满足Ｌ１的表达式，又满足Ｌ２的表达式。所以同时满足两个方程的一对未知数的值ｘ１和ｙ２，就是两表达式组成的方程组的解.所以在求直线交点的问题就可以化归为求方程组解的问题了，从而对此类题目有了一个较明确、形象的理解，不再那么抽象.二、化归的策略1、变换的策略1.1、寻找恰当的映射（对应关系）实现化归，数学知识的内在联系有许多是映射.利用映射，可将待解决的问题转化为另一问题.笛卡尔通过建立坐标系，确定了平面上的点与有序实数对的一一对应关系，把几何问题转化为代数问题，创立了解释几何.由此我们可以把判断点P（6，3）是否在抛物线上，变成判断是否是方程的解；求直线与双曲线交点问题，变成求方程组解的问题.1.2、代换.变量替换、换元、增量替换、等量代换都是特殊的映射变换.3例1、若a、b为互不相等的实数，且，，则的值为分析：用变量x替换a、b.即根据条件的特殊结构，由方程解的定义可知：a、b是方程的两个不等实根.由韦达定理得，。利用已知条件，把所求代数式变形，再整体代换2、转换语义实现化归策略数学中，每一种数学语义（概念、关系等），一般都有一种确定的数学符号（式）表示，但不同的数学语义可能是由同一种数学符号（式）表示的.也就是说，一种数学符号（式），可作不同的语义解释，如表示a与b差的绝对值，又表示数轴上a，b两点的距离.语言是思维的载体，是思维的外部表现形式，同一种数学语义的内容可以用文字语言、符号语言、逻辑语言、图形语言、表格等不同的数学语言形式表示.因此，通过语义转换，能使一个问题转化为另一个较简单明了的问题.2.1、等价转换将一种数学语言翻译成另一种语言形式；或将一种形式意义翻译成另一种形式意义，这种以对象“释”对象，就是等价转换。如点P在⊙O上（R为⊙O半径）；两圆外切（d为圆心距，R、r为两圆半径）；原命题等价于逆否命题.2.2、数形转化数和形反映了事物的两个方面，数无形，少直观；形无数，难入微.因此，在解决问题时，常要把同一数学对象进行代数释意与几何释意，实现“数”与“形”的语义转化.也就是说，将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究，通过数的计算去找图形之间的联系，用“数”的知识解决“形”的问题；根据条件画图形或结合所给图形去寻找数之间的联系，用“形”的知识解决“数”的问题，这种数形结合的思想是解决数学问题的切入点.例2、△ABC中，AB=AC=4，BD交AC于E，，且CE=1。求4分析：根据题意，由AB=AC，，可构造一个以A为圆心，AB为半径的辅圆（如右图，∠BDC为圆周角），直径，，由相交弦定理可知，例3、计算分析：将边长为1的正方形割取一半；第二次再将余下矩形割取一半……依此分割（如图），可以看出每次割取的部分（矩形）与余下的部分（矩形）面积相等。那么割取的各部分矩形面积之和应等于正方形的面积1减去最后一次余下的矩形面积。即……①3、特殊化与一般化的策略3.1、特殊化所谓特殊化就是将所论的数学事实“退”到属于它的特殊状态（数量或位置关系）下研究，从而达到研究一般状态的目的，数学中常将变量换成常量，任意图形换成特殊图形或特殊位置，以获取某种启示，这是特殊化得具体体现.3.2、一般化所谓一般化，就是将所论的具体数学问题，放在一般的状态下进行思考，从而找到解决具体问题的思路.由特殊到一般，由一般到特殊，即由具体到抽象，由抽象到具体，它们互相制约，互相补充，是化归法的另一个策略.例4在Rt△ABC中,90c0,a,b,c为三边长，求证：nnnabc(n≥3)分析：在具体证明前，可先从具体，特殊性入手.当n=3时，因为333332222333()()()0cacbcabcababababc5所以44444222222222444()()()0abcabcabaacbbcabc所以从而受此启发。可以得到证明方法是：因为222222222()()()0.(3)nnnnnnnnnnnnnnabcabcabaacbbcabc例5、计算分析：数字较大，运算繁，不易发现隐含的一般性质，设，则原式三、化归的方法依据不同的标准，化归方法可进行不同的分类，下面主要归纳几种基本，重要且具体的化归方法.1、变形法变形在初等数学中主要是恒等变形，有多项式的恒等变形，分式的恒等变形，无理式的恒等变形，通过变形实现由未知到已知，由难道易，由繁到简的目的.例6.设43226218231983,815xxxxxxx求分式的值.分析：本题若将x的值直接代入原式计算，将很繁琐，若利用恒等变形进行化归，可达到化繁为简的妙处.由222221983==43,43,8+13=0+218+13+10==58+13+243xxxxxxxxxx即两边平方，得，）（）再将原式变形，得原式（）（）（2、分解法所谓分解法就是把所要考虑的每一个问题，按照需要与可能，分成若干部分，使它们更容易求解，在很多情况下，为使化归过程完全实现，往往还要重新组合，数学家波利亚说过：“分解与组合是重要的智力活动，使其每一部份成为更易下手的问题.”在面积和体积的计算和证明中，经常用到分解法，也称为形体分割法，通过对形体的分割，以达到化归的目的.例7，如图，有一块半圆形钢板，直径AB=20cm，计划将此钢板切割成下底为AB的等腰梯形，上底CD的端点在圆周上，且CD=10cm．求图中阴影部分的面积.6分析：阴影部分的面积是不规则的，要直接求是不可能的，阴影部分是一个弓形，所以我们可以直接分解：弓形面积=扇形面积-三角形面积即，S扇形DOC—S△DOC=S阴影3、映射法映射法，即关系，映射，反演方法（RMI）这是现代数学研究中实现化归的一种重要方法，与一般的化归相比，这种化归的方法达到了更高的抽象程度，这一方法也是我国著名数学家徐利治提出的.寻找恰当的映射（对应关系）实现化归，数学知识的内在联系有许多是映射。利用映射，可将待解决的问题转化为另一问题。例8、已知：关于x的一元二次方程的一个根为，且二次函数的对称轴是直线，则抛物线的顶点坐标为分析：根据方程与函数的对应关系可知：方程的一个根为，那么，函数当自变量时，函数值即点（2，3）在抛物线上；又因为抛物线的对称轴是直线，则（2，3）为抛物线的顶点.纵观整个初中数学教学，我们不难发现初中数学教材中有很多问题都是需要用化归思想来解决，化归思想在初中数学的学习中有着举足轻重的作用，是一种非常重要的数学思想，所以在日常教学中应该落实和渗透化归思想.认真钻研教材，充分挖掘和掌握教材中所蕴涵的化归思想方法.数学是一个有机整体，它的各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，使之构成了纵横交错的立体空间，我们在研究数学问题的过程中，常需要利用这些联系对问题进行适当转化，使之达到简单化、熟悉化的目的.要实施转化，首先须明确转化的一般原理，掌握基本的化归思想和方法，并通过典型的问题加以巩固和练习。因此，在平时的教学中，我们不断要教会学生解题，通过仔细的观察、分析，由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想方法、规律以及熟知的相关问题解法，由此不断转化，建立条件和结论之间的桥梁，从而找到解题的思路和方法.教师重视数学思想教育，发挥数学思想方法在数学中的作用，是培养学生创新精神与应用能力、提高学生综合素质的一个重要途径.【参考文献】：徐国莲.《谈数学思想方法在教学中的渗透》.宝山师专学报,2006.9徐利治，郑毓信著.《关系映射反映方法》.南京：江苏教育出版社，1998OEBACD7王子兴著.《数学方法论》.长沙：中南大学出版社，2002徐利治著.《数学方法论选讲》.武汉：华中工学院出版社，1983刘志伟.《转化与化归思想在解题中的应用》高校理科研究,