初中数学换元法专题讲座

初中数学换元法专题讲座一、相关概念1、换元就是引入辅助未知数，把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法。2、换元的目的是化繁为简，化难为易，连接已知和未知。例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等。换元的关鍵是选择适当的式子进行代换。3、换元要注意新旧元的取值范围的变化。要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验。4、二元对称方程（组）二元对称方程：方程中的未知数x、y互换后，方程保持不变的方程称为二元对称方程；二元对称方程组：由两个二元对称方程组成的方程组称为二元对称方程组。解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换。5、倒数方程倒数方程：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等。例如：一元四次倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0。两边都除以x2,得a(x2+21x)+b(x+x1)+c=0。设x+x1=y,那么x2+21x=y2－2,原方程可化为ay2+by+c－2=0。对于一元五次倒数方程ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0，必有一个根是－1。原方程可化为(x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0。ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0，这是四次倒数方程。形如：ax4－bx3+cx2＋bx+a=0的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数。两边都除以x2,可化为a(x2+21x)－b(x－x1)+c=0。设x－x1=y,则x2+21x=y2+2,原方程可化为ay2－by+c+2a=0。二、例题讲解例1解方程1112xxx=x。解：设11xx=y,那么y2=2x+212x。原方程化为：y－21y2=0。解得y=0；或y=2。当y=0时，11xx=0(无解)当y=2时，11xx=2，解得，x=45。检验（略）。例2解方程：x4+(x－4)4=626。解：（用平均值24xx代换，可化为双二次方程。）设y=x－2，则x=y+2。原方程化为(y+2)4+(y－2)4=626。［(y+2)2－(y－2)2]2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0整理，得y4+24y2－297=0。(这是关于y的双二次方程)。(y2+33)(y2－9)=0。当y2+33=0时，无实根；当y2－9=0时，y=±3。即x－2=±3，∴x=5；或x=－1。例3解方程：2x4+3x3－16x2+3x+2=0。解：∵这是个倒数方程，且知x≠0，两边除以x2,并整理得2(x2+21x)+3(x+x1)－16=0。设x+x1=y,则x2+21x=y2－2。原方程化为2y2+3y－20=0。解得y=－4；或y=25。由y=－4得x=－2+3；或x=－2－3。由y=25得x=2；或x=21。例4解方程组01012124012522222yxyxyxyxyxyx解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换。）设x+y=u,xy=v。原方程组化为：01021201222vuuvuu。解得374vu；或91132vu。即374xyyx；或91132xyyx。解得：33213321yx；或33213321yx；或412412yx；或412412yx。三、练习题解下列方程和方程组：（1—13题）：1、)7(27xxxx35－2x。2、(16x2－9)2+(16x2－9)(9x2－16)+(9x2－16)2=(25x2－25)2。3、(2x+7)4+(2x+3)4=32。4、(2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16。5、(2115x)4+(2315x)4=16。6、xxxx112=223。7、2x4－3x3－x2－3x+2=0。8、19182222xyyxyxyx9、160311122yxyx。10、(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6。11、13511yxyx。12、1025yxxyyx。13、01823312yxyyyxyx。14、分解因式：①(x+y－2xy)(x+y－2)+(1－xy)2；②a4+b4+(a+b)4。15、已知：a+2=b－2=c×2=d÷2,且a+b+c+d=1989。则a=___,b=____,c=_____,d=____。(泉州市初二数学竞赛题)16、［a］表示不大于a的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么方程［3x+1］=2x－21的所有根的和是_____。(全国初中数学联赛题)