初中数学教材“二次函数的图象与性质”的实验研究

[初中数学论文]初中数学教材“二次函数的图象与性质”的实验研究摘要：“二次函数的图象与性质”是初中数学教材的教学内容，其中有关图象的平移内容，学生学习时经常会出现方向判断错误。笔者用“平移法则”与“方程和图象相结合”的方法进行对比研究实验，实验结果表明：“方程与图象相结合”的思想是图象平移的本质属性；“方程与图象相结合”的方法不仅降低了教学的难度，而且减少了因机械记忆导致的错误，易于学生理解与掌握。关键词：图象平移法方程与图象实验1、问题的提出“二次函数的图象与性质”是初中数学教材的教学内容，其中有关图形的平移内容，学生学习时经常会出现方向判断错误。《义务教育初级中学课本（试用）第五册A数学》（浙江教育出版社）通过画几个二次项系数相同的二次函数图象，如：y=2x2，y=2(x+1)2和y=2(x+1)2+3的图象，归纳总结y=a(x+m)2+k的图象可以由函数y=ax2平移得出平移法则：“一般地，函数y=a(x+m)2+k的图象可以由函数y=ax2的两次平移得到，当m0时，向左平移m个单位，当m0时向右平移|m|个单位；当k0时，再向上平移k个单位，当k0时，向下平移|k|个单位”。浙教版新教材九上第34页也有相同的法则。对于这个平移法则，学生很容易遗忘，而且有一次忘记后，再次运用仍会出现疑问的后遗症。学生运用平移法则时总要反复去想，有时还想错。虽然有教师总结“正左负右，正上负下”八字口诀，仍不能彻底解决这个问题。追究问题产生的原因，在于法则不但与常规知识（正向上，负向下）有别，也与x轴和y轴移动法则不同。如果学生单凭对法则的抽象记忆，错误的结论就会经常发生。“是不是可以不用简单的机械记忆，而用其它可理解的办法来帮助学生掌握图形的平移判断呢？”新课程北师大、华师大、人教社等版本的数学新教材都没有这方面的说明文字，也没有总结判断的方法，笔者只能在教学实践中去琢磨。怎样才能总结出一种行之有效的方法呢？笔者运用数形结合的数学思想来探究方程与二次函数图象的关系。由于方程与二次函数图象紧密相连，所以笔者在教学时先令x+m=0，得x=-m；当x=-m时，y=k．即顶点（0，0）到（-m，k）的移动，从而在直角坐标平面内获得图象的移动，这种方法简称为“方程－图象相结合”法。为了验证它的教学效果如何，我进行了对比性实验。2、研究的过程与方法2．1实验研究对象宁波市北仑区江南中学2006届九年级实验班（6、8两个班级各48人，共96名学生）宁波市北仑区江南中学2006届九年级普通班（1、2、3三个班学生共142名）2．2研究过程与方法笔者采用的是对比实验研究和调查研究两种方法．整个研究分为两个阶段进行．第一阶段为对比实验研究；第二阶段为调查研究．在对比实验研究阶段，2006届九年级6、8两个班分别采用“平移法则”平移和“方程与图象相结合”平移的教学实验。前者称之为“平移班”，后者称之为“方程班”．在“平移班”完全按原义务教育初级中学课本（试用）浙江教育出版社第五册A数学教材中的平移法则进行教学，而“方程班”则不采用平移法则，直接进行“方程－图象相结合”法平移．在结束新课后，我编制10道图象平移的题目（详见附件），对两个班级学生进行测试．目的是通过测试，比较两种方法对学生解题正确率的影响．在调查研究阶段，还是选择2006届九年级6、8两个实验班共96名学生进行调研分析，同时参与的还有2006届九年级1、2、3三个班学生共142名。（后面这三个班级学生同时教学“平移法则”和“方程与图象相结合”方法）笔者在第二学期第一轮复习时进行测试，目的是调查了解6、8两个班学生在学习一段时间后，学生巩固率分别有多大；1、2、3班学生两种方法都学过后到底喜欢用哪种方法做题．这次测试仍然采用同样的10道题．3、研究结果的统计分析3．1对比试验测试的统计分析根据学生答对题的个数，笔者把对“图象平移”掌握的程度分成四类：（1）答对试题0个题的学生为掌握较差（差）；（2）答对1到7个题的学生为基本掌握（中）；（3）答对8到9个题的学生为较好掌握（良）；（4）答对10个题的学生为熟练掌握（优）．四类学生所占人数的百分比统计如下：第一次测试不同类学生所用方法对比表（百分比）答对题的个数平移法则（平移班）方程与图象相结合（方程班）0（差）6.3%8.3%1—7（中）6%4%8—9（良）42%4.3%10（优）45.7%83.4%统计结果表明，“差”和“中”两种程度的，“方程班”与“平移班”相对差距不大，说明两个班本身程度差不多，每个班都有3、4位学生基础特差，属于“中”的两个班级也只有少数人，大多数人都学会了，有较好或熟练的掌握程度。但答对8到9个（良）与全对（优）的两类学生，则出现明显的差距，8到9个（良）的学生，“平移班”远远大于“方程班”，说明“平移班”中有较多人对于全是字母的那道题（即最后一题）掌握较差，调查这类学生都说记错了，而“方程班”中只有少数人没掌握最后一题，全对（优）的学生，“方程班”中的比例明显高于“平移班”，说明用方程与图象相结合的方法进行教学，能够让学生解答所有题目，不管是简单还是复杂、是数字还是字母的都可以掌握．3．2调研测试情况的统计分析第二次调查测试的重点，主要是对“图象的平移”采用不同的方法进行教学，在经过一段时间后的巩固率有多大区别，以及两种方法都教的班级学生在答题时喜欢用哪一种方法．只使用一种方法教学的数据统计（2006届“平移班”和“方程班”）：答对题的个数平移法则（“平移班”）方程与图象相结合（“方程班”）0（差）6.3%8.3%1—7（中）8.5%4%8—9（良）47.7%3.3%10（优）37.5%84.4%统计结果表明：“方程班”无明显变化，巩固率高；“平移班”的遗忘率在明显提高，巩固率降低。笔者调查“平移班”中出错的学生,学生说搞错了最后一题,也有说法则忘记了的，在“平移班”需再次提起法则才能使更多人记住。2006届九年级1、2、3班共142名学生学习了两种方法。在完成这十道题后再回答问题：你是从顶点坐标的移动来判断整个图形的移动，还是用法则“当m0时，向左平移m个单位，当m0时向右平移|m|个单位；当k0时，再向上平移k个单位，当k0时，向下平移|k|个单位”来答题？142名学生有112人用第一种方法来答题，只有30人用记忆的方法做，其扇形统计图如下：从上述统计数字和对学生的调查可以看出，方程和图象想结合的数形结合思想优于移动图象的平移法则。其主要原因主要有以下几方面：（1）教材中平移法则的文字表达是纯记忆东西，增加了学生的记忆负担和出错的机会，而且与坐标平移的法则不统一，容易出错；（2）法则本身是从具体的函数图象平移中总结出来的，光记法则脱离了数形结合的思想，与本章教学目标关系不大；（3）用方程与图形相结合的思想是同化而非顺应，易于理解与掌握；因为学生对一元一次方程的知识比较熟悉，且掌握得较好，前面也有顶点坐标的知识，因此学习用方程和图形相结合去平移图形与学生已有数学认知结构中的方程和顶点知识发生联系，通过新旧知识之间的相互作用就能直接纳入到原有的数学认知结构之中去，因此，学生学习时会感到自然，容易接受和理解；（4）用方程与图形相结合的思想学习图形的平移是回归本质，返璞归真。图形的平移本身是通过画整个函数图象来得到是向左向右，向上向下移动的情况，而每次画整个图形又不符合实际，而“点”在图象上也是图形，一点的移动情况可以代替整个图形的移动情况，找出关键又常用的一点即顶点，又回到本质；并且可以减少中间记忆环节，减少出错。4、结论与建议综合几方面的实验分析，笔者认为在教学图形的平移内容时应简化教学程序。可以用解方程的办法求出顶点坐标，再根据顶点的移动来确定整个图形的平移方向。因为按照课本画出整个图形来进行判断实在过于麻烦，可以在图形中找一个特殊点，从点的移动来判断整个图形的移动。学生肯定会喜欢并且容易找到图形的顶点，因为关于顶点的学习内容前面已要求学生熟练掌握。用解方程的办法求出顶点坐标，这本身是已有知识的同化，完全可以不提平移法则；提了平移法则反而浪费学生的学习时间，而且会增加出错率。教师在以后的教学中也可以不再补充这段法则。参考文献：[1]、夏明华主编：浙江教育出版社出版义务教育初级中学课本（试用）第五册A数学[2]、马复主编：义务教育数学课程标准研制组北京师范大学国家基础教育课程标准试验教材总编委会组编?义务教育课程标准试验教科书《数学》七年级上册[M]，北京师范大学出版社，2003年4月第三版.[3]、王建磐主编：义务教育课程标准实验教科书初中三年级（九年级）（下）《数学》，华东师范大学出版社，2005年11月第二版.4.范良火主编:义务教育课程标准实验教科书初中三年级（九年级）（上）《数学》，浙江教育出版社出版,2006年7月第1版.附录：1、函数218yx的图象向_______平移______个单位，得21182yx的图象2、函数24yx的图象向_______平移______个单位，得24(1.5)yx的图象3、函数25yx的图象向上平移1个单位，得函数__________________的图象.4、函数23yx的图象先向_____平移_____个单位，再向____平移____个单位，得23(2)2yx的图象。5、函数27yx的图象先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，得函数_____________的图象.6、函数23yx的图象先向右平移1个单位，在向下平移2个单位，得函数_____________的图象.7、函数22(1)yx的图象，可以由抛物线________向___平移_____个单位得到8、函数22(2)1yx的图象，可以由抛物线___________先向___平移_____个单位再向____平移____个单位得到.9、怎样平移二次函数221yx的图象，得到226yxx的图象。10、已知函数2yax和2()yaxh，抛物线2()yaxh可以由抛物线2yax平移得到当h0时抛物线2()yaxh可以由抛物线2yax向___平移_____个单位得到；当h0时，抛物线2()yaxh可以由抛物线2yax向___平移_____个单位得到。