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初中数学难题1.在等腰三角形ABC中，AB=AC，P,Q分别是AC,AB上的点，AP=PQ＝QB＝BC，求角ACQ的度数。解：过Q作QE//BC，使得QE=QB，连接EP,EC则四边形BCEQ为菱形，由EC//AB得出∠ECP=∠A=∠PQAPC=AC-AP=AB-BQ=AQ,EC=BQ=PQ故△ECP≌△PQA故PE=AP=PQ=QE，∴△PQE为等边三角形，故图中的x=20°，因此∠ACQ=30°.2.在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）（1）证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，又∵点N与点G重合，点M与点C重合，∴FB=BM=MG=MD=DH，∠FBM=∠MDH=90°．∴△FBM≌△MDH．∴FM=MH∵∠FMB=∠DMH=45°，∴∠FMH=90°．∴FM⊥HM（2）证明：连接MB、MD，如图23-2，设FM与AC交于点P．∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，∴MD∥BC，且MD=BC=BF；MB∥CD，且MB=CD=DH∴四边形BCDM是平行四边形．∴∠CBM=∠CDM又∵∠FBP=∠HDC，∴∠FBM=∠MDH．∴△FBM≌△MDH∴FM=MH，且∠MFB=∠HMD又∵MD∥BC，∴∠FMD＝∠APM，∴∠FMH=∠FMD－∠HMD=∠APM－∠MFB=∠FBP=90°．∴△FMH是等腰直角三角形（3）解：△FMH是等腰直角三角形…3如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连接GF．（1）FG与DC的位置关系是FG⊥CD，FG与DC的数量关系是FG=$\frac{1}{2}$CD；（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变，请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．解析（1）证FG和CD的大小和位置关系，我们已知了G是CD的中点，猜想应该是FG⊥CD，FG=$\frac{1}{2}$CD．我们可通过构建三角形连接FD，FC，证三角形DFC是等腰直角三角形来得出上述结论，可通过证明全等三角形来证明，延长DE交AC于M，连接EM，证明三角形DEF和FMC全等即可．我们发现BDMC是个矩形，因此BD=CM=DE．由于三角形DEB和ABC都是等腰直角三角形，∠BED=∠A=45°，因此∠AEM=∠A=45°，这样我们得出三角形AEM是个等腰直角三角形，F是斜边AE的中点，因此MF=EF，∠AMF=∠BED=45°，那么这两个角的补角也应当相等，由此可得出∠DEF=∠FMC，这样就构成了三角形DEF和EMC的全等的所有条件，DF=FC这样就得出三角形DFC是等腰三角形了，下面证直角．根据两三角形全等，我们还能得出∠MFC=∠DFE，我们知道∠MFC+∠CFE=90°，因此∠DFE+∠CFE=∠DFC=90°，这样就得出三角形DFC是等腰直角三角形了，也就能得出FG⊥CD，FG=$\frac{1}{2}$CD的结论了．（2）和（1）的证法完全一样．（1）FG⊥CD，FG=$\frac{1}{2}$CD．（2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM，∴四边形BCMD是矩形．∴CM=BD．又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∴ED=BD=CM．∵∠E=∠A=45°，∴△AEM是等腰直角三角形．又F是AE的中点，∴MF⊥AE，EF=MF，∠E=∠FMC=45°．∴△EFD≌△MFC．∴FD=FC，∠EFD=∠MFC．又∠EFD+∠DFM=90°，∴∠MFC+∠DFM=90°．即△CDF是等腰直角三角形，又G是CD的中点，∴FG=$\frac{1}{2}$CD，FG⊥CD．如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF．（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？解析（1）由题意易得△BDE≌△BAC，∴DE=AC=AF，同理可证，EF=AB=AD，∴ADEF为平行四边形；（2）AB=AC时，可得ADEF的邻边相等，所以ADEF为菱形，AEDF要是矩形，则∠DEF=90°，由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°时为矩形．解答（1）四边形ADEF为平行四边形，证明：∵△ABD和△EBC时等边三角形，∴BD=AB，BE=BC；∵∠DBA=∠EBC=60°，∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA∴∠DBE=∠ABC；∵在△BDE和△BAC中BD=BA∠DBE=∠ABCBE=BC，∴△BDE≌△BAC∴DE=AC=AF同理可证：△ECF≌△BCA，∴EF=AB=AD∴ADEF为平行四边形；（2）AB=AC时为菱形，∠BAC=150°时为矩形．理由是：∵AB=AC，∴AD=AF．∴ADEF是菱形．∴∠DEF=90°=∠BED+∠BEC+∠CEF=∠BCA+60°+∠CBA=180-∠BAC+60°=240°-∠BAC，∴∠BAC=150°．