初中数学竞赛专题选讲换元法(含答案)

初中数学竞赛专题选讲（初三.8）换元法一、内容提要1.换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3.换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4.解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5.倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.例如：一元四次的倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0.两边都除以x2,得a(x2+21x)+b(x+x1)+c=0.设x+x1=y,那么x2+21x=y2－2,原方程可化为ay2+by+c－2=0.对于一元五次倒数方程ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0，必有一个根是－1.原方程可化为(x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0，这是四次倒数方程.形如ax4－bx3+cx2＋bx+a=0的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以x2,可化为a(x2+21x)－b(x－x1)+c=0.设x－x1=y,则x2+21x=y2+2,原方程可化为ay2－by+c+2=0.二、例题例1.解方程1112xxx=x.解：设11xx=y,那么y2=2x+212x.原方程化为：y－21y2=0.解得y=0；或y=2.当y=0时，11xx=0(无解)当y=2时，11xx=2，解得，x=45.检验（略）.例2.解方程：x4+(x－4)4=626.解：（用平均值24xx代换，可化为双二次方程.）设y=x－2，则x=y+2.原方程化为(y+2)4+(y－2)4=626.［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0整理，得y4+24y2－297=0.(这是关于y的双二次方程).(y2+33)(y2－9)=0.当y2+33=0时，无实根；当y2－9=0时，y=±3.即x－2=±3，∴x=5；或x=－1.例3.解方程：2x4+3x3－16x2+3x+2=0.解：∵这是个倒数方程，且知x≠0，两边除以x2,并整理得2(x2+21x)+3(x+x1)－16=0.设x+x1=y,则x2+21x=y2－2.原方程化为2y2+3y－20=0.解得y=－4；或y=25.由y=－4得x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得x=2；或x=21.例4解方程组01012124012522222yxyxyxyxyxyx解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设x+y=u,xy=v.原方程组化为：01021201222vuuvuu.解得374vu；或91132vu.即374xyyx；或91132xyyx.解得：33213321yx；或33213321yx；或412412yx；或412412yx.三、练习解下列方程和方程组：（1到15题）：1.)7(27xxxx35－2x.2.(16x2－9)2+(16x2－9)(9x2－16)+(9x2－16)2=(25x2－25)2.3.(2x+7)4+(2x+3)4=32.4.(2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16.5.(2115x)4+(2315x)4=16.6.xxxx112=223.7.2x4－3x3－x2－3x+2=0.8.19182222xyyxyxyx9.160311122yxyx.10.563964467222xxxxxx.11.(6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12.13511yxyx.13.1025yxxyyx.01823312yxyyyxyx.15xxxx111.16.分解因式：①(x+y－2xy)(x+y－2)+(1－xy)2；②a4+b4+(a+b)4.17.已知：a+2=b－2=c×2=d÷2,且a+b+c+d=1989.则a=___,b=____,c=_____,d=____18.［a］表示不大于a的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么方程［3x+1］=2x－21的所有根的和是_____.参考答案1.2212292.±43±343.－254.2,－23,46515.3231-32211，6.17.21,28.727272722332yxyxyxyx9.555555555555412124yxyxyxyx10.7,－111.－32,－3510358yxyx13.8228yxyx14.1031041031041513yxyxyxyx15.x=25116.①设x+y=a,xy=b②设a2+b2=x,ab=y17.设原式=k,k=44218.–2可设2x－21=t,x=21t+41代入[3x+1]