初中数学竞赛教程23质数与合数

2013年暑期初一数学竞赛第二十三讲：质数与合数【知识要点】1、一个大于1的正整数n，若仅有1和n这两个正约数，则n叫做素数（也可以叫做质数），若还有其他的正约数，则n叫做合数。2、素数和合数有以下性质：（1）除2以外的所有偶数，都是合数；（2）2是唯一的偶素数，除2以外，所有素数都是奇数；（3）若素数|pab，则必有|pa或|pb；（4）若正整数a、b的积是素数p，则必有ap或bp。3、算术基本定理（唯一分解定理）：任一整数1n，可以分解成1212...(1)kaaaknPPPk，其中12,,...,kPPP是互不相等的素数，12,,...,kaaa是正整数，则n的正约数的个数为12(1)(1)...(1)kaaa。【例题精选】例1、有四个数，一个是最小的奇素数，一个是偶素数，一个是小于30的最大素数，另一个是大于70的最小素数，求它们的和。变式、（2005年希望杯试题）（1）如果a是小于20的质数，且a1可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？（2）如果a是小于20的合数，且a1可化为一个循环小数，那么a的取值有哪几个？例2、若p、q都是素数，且5729pq，试求22pq的值。变式1、设p、q、r都是质数，并且pqr，pq，求p．变式2、若p为素数，则35p仍为素数，则57p为（）A、素数B、可为素数也可为合数C、合数D、既不是素数也不是合数例3、有人说：“任何七个连续整数中一定有素数。”请你举一个例子，说明这句话是错误的。变式、是否存在连续88个自然数都是合数？例4、证明：每一个大于11的自然数都是两个合数的和．变式、设p(≥5)是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．例5、整数240能被多少个不同的自然数整除？变式、（希望杯试题）若k为整数，则使得方程(1999)20012000kxx的解也是整数的k值有（）A、4个B、8个C、12个D、16个例6、41名运动员所穿运动衣号码是1，2，…，40，41这41个自然数，问：（1）能否使这41名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？若能办到，请举例说明；若不能办到，请说明理由。例7、有一块地能被n块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需(76)n块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n及地砖的边长都是整数，求n的值。【巩固拓展】1、在2005，2007，2009这三个数中，质数有（）A、0个B、1个C、2个D、3个2、下面给出的数中，其值为素数的是（）A、4199319934B、12345678987654321C、1111119111111D、322219931992199423、将1995表示为两个素数之和的方法的种数是（）A、1种B、2种C、3种D、4种4、三个不同的素数m、n、p，满足mnp，则mnp的最小值是（）A、5B、6C、30D、105、一个三角形的三条边长分别是a、b、c(a、b、c都是质数)，且16abc，则这个三角形的形状是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等边三角形D、直角三角形或等腰三角形6、若x是正数，x表示不超过x的素数的个数，如5.13，即表示不超过5.1的素数有2，3，5共3个，那么1993418的值是（）A、12B、11C、10D、97、已知a是素数，b是奇数，且22011ab，则ab。8、在锐角△ABC中，三个内角的度数都是素数，则△ABC是三角形。9、已知p、q、1pq都是质数，且40pq，那么满足以上条件的最小质数p；q。10、已知a是素数，b是奇数，且22011ab，则ab。11、已知质数p、q满足3741pq，则(1)(1)pq。12、若510510的所有质因数按照从小到大的顺序排列为kaaaa,,,,321(k是最大的质因数的序号)，则kkaaaaaaaa1433221的值是。13、已知三个质数m，n，p的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222mnp=．14、在1，2，3，…，n这n个自然数中，已知共有p个素数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则()()qmpk。