初中数学竞赛精品标准教程及练习23递推公式

1初中数学竞赛精品标准教程及练习(23)递推公式一、内容提要1．先看一例：a1=b,a2=12a,a3=22a……an+1=na2这里a1,a2,a3……an,an+1是对应于正整数1，2，3……n,n+1的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。例如:若a1=10,则a2=102=51,a3=10,a4=51,a5=10……2.为了计算的方便，通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式，这可用经验归纳法。例如：把递推公式an+1=an+5改为用a1和n来表示∵a2=a1+5,∴a3=a2+5=(a1+5)+5=a1+2×5，a4=a3+5=(a1+2×5)+5=a1+3×5……∴an=a1+(n-1)5如果已知a1=10,求a20,显然代入这一公式方便。A20=10+19×5=1053.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。二、例题例1.已知：a1=2,an=an-1+2(n-1)(n≥2)求：a100的值解：a100=a99+2×99=a98+2×98+2×99=……=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99=2+2×299)991(=9902又解：a2=a1+2×1a3=a2+2×2=(a1+2×1)+2×2a4=a3+2×3=(a1+2×1+2×2)+2×3……a100=a1+2×1+2×2+2×3+……+2×99=2+2(1+2+3+……+99)=9902例2.已知：x1=97,对于自然数n1,xn=1nxn求：x1x2x3·……·x8的值解：由递推公式xn=1nxn可知x1x2=x112x=2x3x4=x334x=4x5x6=x556x=6x7x8=x778x=8∴x1x2x3·……·x8=2×4×6×8=384例3.已知：100个自然数a1,a2,a3……a100满足等式(n-2)an－（n－1）an-1+1=0(2≤n≤100)并且a100=199求：a1＋a2＋a3＋……＋a1002分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：an-1=11)2(nann可由a100求a99,a98……解：a99=991)2100(100a=99119998=197a98=981)299(99a=98119797=195用同样方法求得a97=193,a96=191,……a1=1∴a1＋a2＋a3＋……＋a100＝1＋3＋5＋……＋195＋197＋199＝2100)1991(＝104三、练习231.已知a1=1,a2=1,且an+2=an+1+an那么a3=___,a4=____,a5=_____,a6=_____,a7=_____2.若a1=2m,an=12na则a2=__,a3=__,a4=__,a5=__,a1989×a1990=___3.n为正整数，有递推公式an+1=an－3，试用a1,n表示第n项an4.已知a1=10,an+1=2an求a105.已知f(2)=1,f(n+1)=f(n)+n,求f(10)6.设x+y=a1,x2+y2=a2,……xn+yn=an,xy=6,则a2=a12－2b,有递推公式an+1=a1an－ban-1,试按本公式求出：用a,b表示a3,a4,a5,a6根据下列数据的特点，写出递推公式：①a1=1,a2=4,a3=7,a4=10……an=＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿②a1=1,a2=3,a3=6,a4=10……an=＿＿＿＿＿＿,an+1＿＿＿＿＿＿＿＿＿7.n名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。8.平面内n条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示。练习23参考答案：1.2，3，5，8，132.m1，2m,m1，2m,23.an=a1-3((n-1)4.a10=29×10＝51205f(10)=1+2+3+……＋9＝456.a3=a13-3a1b,……a6=a16-6a14b+9a12b2-2b37.①an=an-1+3,an+1=a1+3②an=an-1+n,an-1=an+(n+1)8.f(n+1)=f(n)+n,9.同上，f(1)=0,f(2)=1,f(3)=f(2)+2,f(4)=f(3)+3,……f(n)=f(n-1)+n-13扫描下面二维码，加关注，索取全套题库！