初中数学竞赛试题及答案1991年

1991年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１．设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则22223yxyxyxyx的值是（A）3；（B）31；（C）2；（D）35．答（）２．如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（A）10；（B）12；（C）16；（D）18．答（）３．方程012xx的解是（A）251；（B）251；（C）251或251；（D）251．答（）４．已知：)19911991(2111nnx（n是自然数）．那么nxx)1(2，的值是（Ａ）11991；（Ｂ）11991；（Ｃ）1991)1(n；（Ｄ）11991)1(n．答（）５．若Mn1210099321，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（）６．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足cba，dcb，adc，那么dcba的最大值是（Ａ）1；（Ｂ）5；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（）７．如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是11S，32S和13S，那么，正方形OPQR的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2；（Ｄ）3．答（）８．在锐角ΔABC中，1AC，cAB，60A，ΔABC的外接圆半径R≤1，则（Ａ）21c2；（Ｂ）0c≤21；答（）（C）c2；（D）c=2．答（）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是．２．已知关于x的一元二次方程02cbxax没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，acb32．3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x０，qpnmxxxx)1(1)1(恒成立，则qpnm22)2(．４．四边形ABCD中，∠ABC135，∠BCD120，AB6，BC35，11S3S=132SCD=6，则AD=．第二试x+y，x－y，xy，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x,y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．120135