45初中数学竞赛辅导资料(17)奇数偶数甲内容提要1.奇数和偶数是在整数集合里定义的,能被2整除的整数是偶数,如2,0-2…,不能被2整除的整数是奇数,如-1,1,3。如果n是整数,那么2n是偶数,2n-1或2n+1是奇数。如果n是正整数,那么2n是正偶数,2n-1是正奇数。2.奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为:整数偶数奇数或整数集合这就是说,在整数集合中是偶数就不是奇数,不是偶数就是奇数,如果既不是偶数又不是奇数,那么它就不是整数。3.奇数偶数的运算性质:奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数±偶数=偶数奇数×奇数=奇数奇数×偶数=偶数,偶数×偶数=偶数奇数的正整数次幂是奇数,偶数的正整数次幂是偶数,两个連续整数的和是奇数,积是偶数。乙例题例1求证:任意奇数的平方减去1是8的倍数证明:设k为整数,那么2k-1是任意奇数,(2k-1)2-1=4k2-4k+1-1=4k(k-1)∵k(k-1)是两个連续整数的积,必是偶数∴4k(k-1)是8的倍数即任意奇数的平方减去1是8的倍数例2已知:有n个整数它们的积等于n,和等于0求证:n是4的倍数证明:设n个整数为x1,x2,x3,…xn根据题意得②①0321321nnxxxxnxxxx如果n为正奇数,由方程(1)可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇数,而奇数个奇数的和必是奇数,这不适合方程(2)右边的0,所以n一定是偶数;当n为正偶数时,方程(1)左边的x1,x2,x3,…xn中,至少有一个是偶数,而要满足方程(2)右边的0,左边的奇数必湏是偶数个,偶数至少有2个。偶数集奇数集46所以n是4的倍数。例3己知:a,b,c都是奇数求证:方程ax2+bx+c=0没有整数解证明:设方程的有整数解x,若它是奇数,这时方程左边的ax2,bx,c都是奇数,而右边0是偶数,故不能成立;若方程的整数解x是偶数,那么ax2,bx,都是偶数,c是奇数,所以左边仍然是奇数,不可能等于0。既然方程的解不可能是奇数,也不能是偶数,∴方程ax2+bx+c=0没有整数解(以上的证明方法是反证法)例4求方程x2-y2=60的正整数解解:(x+y)(x-y)=60,60可分解为:1×60,2×30,3×20,4×15,5×12,6×10左边两个因式(x+y),(x-y)至少有一个是偶数因此x,y必湏是同奇数或同偶数,且xy0,适合条件的只有两组230yxyx610yxyx解得1416yx28yx∴方程x2-y2=60的正整数解是1416yx28yx丙练习171.选择题①设n是正整数,那么n2+n-1的值是()(A)偶数(B)奇数(C)可能是奇数也可能是偶数②求方程85x-324y=101的整数解,下列哪一个解是错误的?()(A)15yx(B)86329yx(C)171653yx(D)256978yx2.填空:①能被3,5,7都整除的最小正偶数是___②能被9和15整除的最小正奇数是__最大的三位数是__47③1+2+3+…+2001+2002的和是奇数或偶数?答__④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数?答__⑤位n01100能被11整除,那么n是正奇数或正偶数?答__3.任意三个整数中,必有两个的和是偶数,这是为什么?4.试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由5.求证:两个連续奇数的平方差能被8整除6.试证明:任意两个奇数的平方和的一半是奇数7.求方程(2x-y-2)2+(x+y+2)2=5的整数解8.方程19x+78y=8637的解是()(A)9178yx(B)9284yx(C)9388yx(D)9181yx9.十进制中,六位数8719ab能被33整除,求a,b的值返回目录参考答案