初中数学竞赛辅导资料(9)

-20-初中数学竞赛辅导资料(9)一元一次方程解的讨论甲内容提要1，方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x＋6＝0，x（x-1）=0,|x|=6,0x=0,0x=2的解分别是：x=－3,x=0或x=1,x=±6,所有的数，无解。2，关于x的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后，讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解x=ab；当a=0且b≠0时，无解；当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立）3,求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解当a｜b时，方程有整数解；当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解；当a、b同号时，方程的解是正数。综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b乙例题例1a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2)①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？解：①当a≠0且a≠2时，方程有唯一的解，x=a4②当a=0时，原方程就是0x=－8，无解；③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解④由①可知当a≠0且a≠2时，方程的解是x=a4,∴只要a与4同号，即当a0且a≠2时，方程的解是正数。例2k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？解：①化为最简方程（k＋2）x=4当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。②化为最简方程kx=k－6，当k≠0时x=kk6=1－k6，只要k能整除6,即k=±1，±2，±3，±6时，x就是整数当k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。问a和b应满足什么关系？解：原方程化为最简方程：(a－b)x=b∵方程无解，∴a－b=0且b≠0∴a和b应满足的关系是a=b≠0。-21-例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7，根据0x＝0时，方程有无数多解，可知当07320823baba时，原方程有无数多解。解这个方程组得12ba答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。丙练习（9）1,根据方程的解的定义，写出下列方程的解：①(x+1)=0,②x2=9,③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x+1=3x－1,⑥x+2=2+x2,关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________3,在方程a(a－3)x=a中，当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解；当a＿＿＿时无解；当a＿＿＿＿＿时,有无数多解；当a＿＿＿＿时,解是负数。4，k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？①x=k4②x=16k③x=kk32④x=123kk5，k取什么值时，方程x－k=6x的解是①正数？②是非负数？6，m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解①是零？②是正数？7，己知方程221463ax的根是正数，那么a、b应满足什么关系？8，m取什么整数值时，方程mmx321)13(的解是整数?9，己知方程axxb231)1(2有无数多解，求a、b的值。初中数学竞赛辅导资料（10）二元一次方程的整数解甲内容提要1，二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解显然a,b互质时一定有整数解。例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6都有整数解。返过来也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。2，二元一次方程整数解的求法：若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的-22-解）。k叫做参变数。方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解解：x=5111y=yyyy2515101(1),设kky(51是整数），则y=1-5k(2),把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整数解是kykx51211（k是整数）方法二，公式法：设ax+by=c有整数解00yyxx则通解是akyybkxx00（x0,y0可用观察法）3，求二元一次方程的正整数解：①出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值②用观察法直接写出。乙例题例1求方程5x－9y=18整数解的能通解解x=53235310155918yyyyy设ky53（k为整数），y=3－5k,代入得x=9－9k∴原方程整数解是kykx5399（k为整数）又解：当x=o时，y=－2，∴方程有一个整数解20yx它的通解是kyyx5290（k为整数）从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。例2，求方程5x+6y=100的正整数解解：x=52056100yyy(1)，设ky5(k为整数)，则y=5k,(2)把（2）代入（1）得x=20-6k，∵00yx解不等式组050620kk得0＜k620,k的整数解是1，2，3，∴正整数解是514yx108yx152yx-23-例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得3x+5y=38（x,y都是正整数）∵x＝1时，y=7，∴71yx是一个整数解∴通解是kykx3751（k为整数）解不等式组037051kk得解集是3751k∴整数k=0，1，2把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解71yx46yx111yx答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。丙练习101，求下列方程的整数解①公式法：x+7y=4,5x-11y=3②整除法：3x+10y=1,11x+3y=42,求方程的正整数解：①5x+7y=87,②5x+3y=1103，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？4，兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。5，下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）①4x＋2y=11,②10x-5y=70,③9x+3y=111,④18x-9y=98,⑤91x-13y=169,⑥120x+121y=324.6,一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？7．用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：y=14－2x=371y初中数学竞赛辅导资料（11）二元一次方程组解的讨论甲内容提要1．二元一次方程组222111cybxacybxa的解的情况有以下三种：-24-①当212121ccbbaa时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）②当212121ccbbaa时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）③当2121bbaa（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：1221211212211221babaacacybababcbcx（这个解可用加减消元法求得）2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）乙例题例1.选择一组a,c值使方程组cyaxyx275①有无数多解，②无解，③有唯一的解解：①当5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解解比例得a=10,c=14。②当5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。解得a=10,c≠14。③当5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。例2.a取什么值时，方程组3135yxayx的解是正数？解：把a作为已知数，解这个方程组得23152331ayax∵00yx∴0231502331aa解不等式组得531331aa解集是6311051a-25-答：当a的取值为6311051a时，原方程组的解是正数。例3.m取何整数值时，方程组1442yxmyx的解x和y都是整数？解：把m作为已知数，解方程组得82881mymx∵x是整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2。取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。解得m=9，7，10，6。经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？解：设桃，李，榄橄分别买x,y,z粒,依题意得)2(1007143)1(100zyxzyx由（1）得x=100－y－z(3)把（3）代入（2），整理得y=－200+3z－7z设kz7(k为整数)得z=7k,y=－200+20k,x=300－27k∵x,y,z都是正整数∴07020200027300kkk解得0.10.9100kkk（k是整数）∴10＜k9111,∵k是整数，∴k=11即x=3（桃）,y=20（李）,z=77（榄橄）(答略)丙练习111．不解方程组，判定下列方程组解的情况：①96332yxyx②32432yxyx③153153yxyx-26-2．a取什么值时方程组229691322aayxaayx的解是正数？3．a取哪些正整数值，方程组ayxayx24352的解x和y都是正整数？4．要使方程组12yxkkyx的解都是整数，k应取哪些整数值？5．（古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？初中数学竞赛辅导资料（12）用交集解题甲内容提要1．某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。2．由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。3．几个集合的交集可用图形形象地表示，右图中左边的椭圆表示正数集合，右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集――正整数集。不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。例如不等式组)2(2)1(62xx解的集合就是不等式（1）的解集x3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x3.如数轴所示：0234．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得