初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛辅导资料（54）整数解甲内容提要1.求方程或不等式的整数解，就是求适合等式或不等式的未知数的整数值，包括判断无整数解.2.求整数解常用的性质、法则：①.数的运.算性质：整数＋整数＝整数，整数－整数＝整数，整数×整数＝整数，整数的自然数次幂＝整数,整数÷（这个整数的约数）＝整数.②.整系数的方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有当b2－4ac是完全平方数时，才有整数根.有时用韦达定理x1+x2与x1x1都是整数，来确定整数解，但必须检验（因为它们只是整数解必要条件）.③.运用二元一次方程求整数解（见第10讲）.④.用列举法.3.判定方程或不等式没有整数解，常用反证法.即设有整数解之后，把整数按某一模m分类，逐一推出矛盾.乙例题例1.求下列方程的正整数解：①xy+x+y=5；②x2+y2＝1991.解：①先写成关于x的方程，（y+1）x=5－y.x=16116115yyyyy.当y+1取6的约数±1,±2,±3,±6时，x的值是整数.∵－1＋16y＞0，且x0,y0,∴1y+16.∴y=1或y=2.∴原方程有正整数解12yx；或21yx.①又解：把左边写成积的形式：x(y+1)+y+1=5+1,(y+1)(x+1)=6.∵6＝1×6＝2×3，而正整数y+11,x+11.∴3121yx或2131yx解得21yx；或12yx.②要等式成立，x,y必须是一奇一偶，设x=2a,y=2b－1(a,b都是正整数).左边x2+y2＝（2a）2+(2b－1)2=4(a2+a+b2－b)+1.∴a,b不论取什么整数值，左边的数都是除以4余1，而右边1991是除以4余3.∴等式永远不能成立.∴原方程没有正整数解.例2.一个正整数加上38或129都是完全平方数，求这个正整数.若把正整数改为整数呢？解：设这个正整数为x，根据题意，得)2(129)1(3822bxax(a,b都是正整数).(2)－(1)：b2－a2=91.(b+a)(b－a)=91，∵91=1×91=7×13且b+ab－a.∴191abab或713abab解得，4645ba；或103ba.由方程(1)知a38,由方程(2)知b129.∴只有4645ba适合.∴x=a2－38=1987.答(略).如果改为整数，则两组的解都适合.另一个解是：x=a2－38=9－38=－29.例3.一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，则这个自然数的最小值是多少？(1989年泉州市初二数学双基赛题)解法一：用列举法与3的和是5的倍数的自然数有：2，7，12，17，22，27，…与3的差是6的倍数的自然数有：3，9，15，22，27，…∴符合条件的最小自然数是27.解法二：设所求自然数为x,那么bxax6353(a,b都是自然数).∴x=5a－3=6b+3,∴a=511566bbb,∵a,b都是自然数，∴b+1是5的倍数，其最小值是b=4.∴x=6b+3=27.取什么整数值时，方程mx2+(m2－2)x－(m+2)=0有整数解？解：设方程两个整数根为x1,x2.那么它们的和、积都是整数.根据韦达定理：mmmmxxmmmmxx222221221∵x1和x2都是整数，∴m是2的约数，即m=±1，±2.∵这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要代入检验.当m=1时，原方程为x2－x－3=0,没有整数解；当m=－1时，原方程为－x2－x－1=0,没有实数根；当m=2或m=－2时，方程有整数解.答：当m=2或m=－2时，方程mx2+(m2－2)x－(m+2)=0有整数解.例5.已知：n是正整数，且9n2+5n+26的值是两个相邻正整数的积.求：n的值.（1985年上海市初中数学竞赛题）解：设9n2+5n+26＝m(m+1)，m为正整数.m2+m－(9n2+5n)=26.（把左边化为积的形式，先配方再分解因式）（m+21）2－(3n+65)2=26+362541,(m+21+3n+65)(m+21－3n－65)=2595，去分母并整理得：（3m+9n+4）(3m－9n－1)=230.∵230＝1×230＝2×115＝5×46＝10×23，且3m+9n＞3m－9n..∴1193230493nmnm；或2193115493nmnm；或51946493nmnm；或1019323493nmnm.解方程组，正整数的值只有n=2或n=6.例6.已知：方程x2－2(m+1)x+m2=0有两个整数根，且12＜m60.求：m的整数值.解：要使一元二次方程有整数解，必须△为完全平方数.△＝［－2（m+1）］2－4m2=8m+4=4(2m+1).即当2m+1是完全平方数时，方程有整数解.∵12m60,∴252m+1121，完全平方数.2m+1=36,49,64,81,100.则2m=35,48,63,80,99.∴m的整数值，只有24，40.检验：当m=24时，有整数解32，18；当m=40时，有整数解50，32.答：当m=24或m=40时，方程x2－2(m+1)x+m2=0有两个整数根.丙练习541.已知x2－y2=1991,则x,y的正整数解是＿＿＿＿＿＿＿.2.方程x2+(y+1)2=5的整数解有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.已知x1,x2,x3,……,x2000都是正整数，写出下列方程的一组整数解：①x1+x2=x1x2的一组解为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.②x1+x2+x3=x1x2x3的一组解为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.③x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的一组解为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.④x1+x2+x3+……+x2000=x1x2x3……x2000的一组解为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4.已知100≤x(x+1)≤150，则整数x=_____.5.已知x2002300,则正整数x=____.6.如果x,y都是正整数，且0x10，0≤y≤9，那么它们的和、差的范围是：0x+y___,___x－y___.7.已知DxxCxxBxxAxx且A+B+C+D=100，则x=＿＿＿.(1988年泉州市初二数学双基赛题)8.已知被除数是100以内的自然数，在○和()填上适当的数，使如下带余除法的运算成立：○÷665544(1990年泉州市初二数学双基赛题)9.已知a+2=b－2=c×2=d÷2且a+b+c+d=1989.则a=___，b=___，c=___，d=___.(1989年泉州市初二数学双基赛题)10.若a,b,c,d是互不相等的整数，且abcd=4.则a+b+c+d=_____.11.求下列方程的整数解：①2x+2y=xy；②2x+10y=1991.12.m取什么整数值时，下列方程有正整数解？①(x－1)=4－x；②m2x2－18mx+72=x2－6x..(1988年泉州市初二数学双基赛题)13.已知长方形的长和宽都是整数值，且周长与面积的数值相同，求这个长方形的长和宽.14.方程(x－a)(x－8)－1=0有两个整数根，求a的值.(1990年全国初中数学联赛题)15.已知a,b是自然数且互质，试问关于x的方程：x2－abx+21(a+b)=0是否有自然数解(两解都是自然数)如果有，把它求出来，如果没有请给予证明.(1990年泉州市初二数学双基赛题)16.两个自然数的和比积小1000，其中一个是完全平方数，求这两个自然数.