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京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班2013中考总结复习冲刺练：几何图形的归纳,猜想,证明问题冲刺练由京翰教育一对一家教辅导()整理【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。第一部分真题精讲【例1】2012，海淀，一模如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设211BDC的面积为1S，322BDC的面积为2S，…，1nnnBDC的面积为nS，则2S=；nS=____（用含n的式子表示）．D4D3D2D1C5C4C3C2C1B5B4B3B2B1A……[【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是22BAC,33BAC这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先2S所代表的三角形的底边2C2D是三角形2AC2D的底边,而这个三角形和△3AC3B是相似的.所以边长京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班的比例就是2AC与3AC的比值.于是2122323233S.接下来通过总结,我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,为3（连接上面所有的B点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的B,C点连线的边都是平行的，于是自然可以得出nD自然是所在边上的n+1等分点.例如2D就是2B2C的一个三等分点.于是1121nnnDCn(n+1-1是什么意思?为什么要减1?)11123332211nnnBDCnnnnSDCnn【例2】2012，西城，一模在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，如图，菱形ABCD的四个顶点坐标分别是(80)，，(04)，，(80)，，(04)，，则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形nnnnABCD的四个顶点坐标分别为(20)，n，(0)，n，(20)，n，(0)，n（n为正整数），则菱形nnnnABCD能覆盖的单位格点正方形的个数为_________（用含有n的式子表示）．-8-448ODCBAyx【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑）。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被X,Y轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4即可。比如我们来看第二象京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为12yxn,斜率12意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些RT三角形一共有2n/2=n个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是12?而且这些直角三角形都是全等的,面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB的面积自然就是122nn,所有n个空白小三角形的面积之和为1212n,相减之后自然就是所有格点正方形的面积2nn,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是244nn.【例3】2012，平谷，一模如图，45AOB，过OA上到点O的距离分别为1357911...，，，，，的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234SSSS，，，，．则第一个黑色梯形的面积1S；观察图中的规律，第n(n为正整数)个黑色梯形的面积nS．BA...1311975310S4S3S2S1【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为45AOB，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。第一个梯形上底是1，下底是3，所以1113242S.第二个梯形面积21572122S,第三个是319112202S,至此,我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。于是第n个梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底1加上(n-1)个4.)下底自然就是4n-1,于是nS就是京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班8n-4.【例4】2012，丰台，一模在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有个．yxOD1D2D3C1C2C3B1B2B3A3A2A1123-1-2-3-3-2-1321【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于nnnnABCD来说,每条边的长度是2n,那么自然整点个数就是2n+1，所以四条边上整点一共有(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是10101010ABCD就是80个.【例5】2012，宣武，一模如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班点”“垂线”“等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是45度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈是360度，包涵了8个45°。于是绕到第八次就可以和BC重叠了，此时边长为△ABC的81，故而得解。【例6】2012，门头沟，一模如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA，再以等腰直角三角形1ABA的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11ABB，……，如此作下去，若1OAOB，则第n个等腰直角三角形的面积nS________（n为正整数）.B2B1A1BOA【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得123124...222SSS，，，分子就是1,2,4,8,16这样的数列。于是22nnS【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例6就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。第二部分发散思考京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班【思考1】2012，西城，二模如图，在平面直角坐标系xOy中，1B(0,1)，2B(0,3)，3B(0,6)，4B(0,10)，…，以12BB为对角线作第一个正方形1112ABCB，以23BB为对角线作第二个正方形2223ABCB，以34BB为对角线作第三个正方形3334ABCB，…，如果所作正方形的对角线1nnBB都在y轴上，且1nnBB的长度依次增加1个单位，顶点nA都在第一象限内（n≥1，且n为整数）．那么1A的纵坐标为；用n的代数式表示nA的纵坐标：．【思考2】2012，朝阳，二模如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始跳动，第一次跳到点P关于x轴的对称点1P处，接着跳到点1P关于y轴的对称点2P处，第三次再跳到点2P关于原点的对称点处，…，如此循环下去．当跳动第2012次时，棋子落点处的坐标是．【思考3】2012，昌平,一模对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数72的分裂数中最大的数是，自然数n2的分裂数中最大的数是.【思考4】2012，延庆，一模13135京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(01)，，然后接着按图中箭头所示方向运动,即(00)(01)(11)(10)，，，，…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______【思考5】2012，海淀，二模如图，将边长为),,,(32121nn的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A1,A2,A3,….①若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为；②若摆放前n（n为大于1的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为.第三部分思考题解析【思考1答案】2；2(1)2n【思考2答案】（3，－2）【思考3答案】13；2n-1【思考4答案】（5，0）【思考5答案】10，))((1241nn0123xy123…A4A2A3A1