搜索
图1图2图3图4图5图6图7图8图9帅（2011•临沂）如图1，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是考点：矩形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理分析：因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A=30°，∠C=90°，BC=2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．解答：解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，∴DF∥BC，∴∠C=90°，∴四边形BCDE是矩形．∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，∴AB=4，∴AC=帅如果P是边长为4的等边三角形内任意一点，那么点P到三角形三边距离之和为．考点：等边三角形的性质．分析：作出图形2，根据等边三角形的性质求出高AH的长，再根据三角形的面积公式求出点P到三边的距离之和等于高线的长度，从而得解．解答：解：如图，∵等边三角形的边长为4，．点评：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．帅如图3，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，又△A′B′C≌△ABC，则∠BCA′：∠A′CA为1：4考点：全等三角形的性质．分析：先求出△ABC的各角的度数，再根据全等三角形对应角相等求出∠A′CB′的度数，利用邻补角的定义先求出∠A′CA的度数，根据∠BCA′=∠ACB-∠A′CA求出∠BCA′的度数，然后求出比值．解答：解：∵∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10∴∠ACB=180°×∵△A′B′C≌△ABC，∴∠A′CB′=∠ACB=100°，∴∠A′CA=180°-∠A′CB′=180°-100°=80°，∠BCA′=∠ACB-∠A′CB′=100°-80°=20°，∴∠BCA′：∠A′CA=20°：80°=1：4．故应填1：4．（2012•临沂）如图4，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD=70°．考点：轴对称的性质；平行线的判定与性质．专题：常规题型．分析：先证明四边形BDEC是菱形，然后求出∠ABD的度数，再利用三角形内角和等于180°求出∠BAD的度数，然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD，然后求解即可．解答：解：∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形，∴DB=DE，∵∠BDE=70°，∴∠ABD=（180-70）/2=55°，∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°，根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称∴∠BAC=∠BAD=35°∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．点评：本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，判断出四边形BDEC是菱形并得到该图象关于直线AB成轴对称是解题的关键．（2011●株洲）如图5，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．解析（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求得（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5；解答（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．．如图6，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．证明：（1）∵∠ACB=∠DCE，∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即∠BCD=∠ACE，∵BC=AC，DC=EC，∴△BCD≌△ACE；（2）∠ACB=90°，AC=BC，，∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°，∴，由（1）知AE=DB，AD2+DB2=DE2．帅（2012•孝感）如图7，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）考点：黄金分割．分析：根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长．解答：解：∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共，∴△ABC∽△BDC，且AD=BD=BC．本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD的长．帅2011•苏州）如图8，巳知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．考点：相似三角形的性质；等边三角形的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．解，如图9帅（2012•大连）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A．（1）∠BEF=180°-2α（用含α的代数式表示）；（2）当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他条件不变（如图），求的值（用含m，n的代数式表示）解析（1）解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°-2α；故答案为：180°-2α；（2）EB=EF．证明：连接BD交EF于点O，连接BF．∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α，∠ADC=180°-∠C=180°-α．∵AB=AD，∴∠ADB=12（180°-∠A）=α，∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=180°-2α，由（1）得：∠BEF=180°-2α=∠BDC，又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF，∴OEOD=OBOF，即OEOB=ODOF，∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF，∴∠EFB=∠EDO=α，∴∠EBF=180°-∠BEF-∠EFB=α=∠EFB，∴EB=EF；（3）解：延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，则∠G=∠AEG=180°-∠A2=180°-(180°-2α)2=α，∵AD∥BC，∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC，∴∠EDF=∠G，∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC，∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED，∴△DEF∽△GBE，∴EBEF=BGDE，∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE，∴BG=AG-AB=（n+1）DE-mDE=（n+1-m）DE，∴EBEF=BGDE=(n+1-m)DEDE=n+1-m．（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数；（2）首先连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得OEOD=OBOF，继而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF；（3）首先延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得EBEF的值．