初中数形结合思想在解题中的应用

第-1-页共7页作者姓名袁瑗职务职称中教一级工作单位河北省廊坊市管道局中学参赛组别初中论文题目数形结合思想在解题中的应用论文编号邮政编码065000通讯地址河北省廊坊市管道局中学袁瑗（收）固定电话2070179移动电话[phone]电子邮箱[e-mail]第-2-页共7页数形结合思想在解题中的应用袁瑗河北省廊坊市管道局中学（065000）内容摘要：数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。本文从两个方面论述了数形结合思想在解题中的具体应用：一、构造几何图形解决代数与三角问题；二、用代数与三角方法解决几何问题，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。关键词：数形结合思想以形助数以数解形数学研究的主要对象是空间形式和数量关系。数与形是数学的两大支柱，它们是对立的，也是统一的。数形结合思想，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面。利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是一种基本的数学思想。忽视数与形的任何一方面，都会使数学变得残缺不全。正如华罗庚先生所说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。下面结合具体实例谈谈数形结合思想在解题中的应用：一、构造几何图形解决代数与三角问题：1、证明恒等式：例1已知x、y、z、r均为正数，且222,xyz222zxrx求证：.rzxy分析：由222,xyz自然联想到勾股定理。由222.zxrx可以联想到射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性一目了然。证明：（略）小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。BACxyzr第-3-页共7页2、证明不等式：例2已知：0＜a＜1，0＜b＜1.求证：22222222(1)(1)(1)(1)22.abababab证明：如图，作边长为1的正方形ABCD，在AB上取点E，使AE=a；在AD上取点G，使AG=b，过E、G分别作EF//AD交CD于F；作GH//AB交BC于H。设EF与GH交于点O，连接AO、BO、CO、DO、AC、BD.由题设及作图知△AOG、△BOE、△COF、△DOG均为直角三角形，因此22OAab22(1)OBab22(1)(1)OCab22(1)ODab且2ACBD由于,.OAOCACOBODBD所以：22222222(1)(1)(1)(1)22.abababab当且仅当12ab时，等号成立。小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。3、求参数的值或参数的取值范围：例3若方程2210axx（a＞0）的两根满足：1x＜1，1＜2x＜3，求a的取值范围。解析：画出与方程对应的二次函数221yaxx（a＞0）的草图：第4页共7页y=1xy00123xy0123xy由图可知：当x=1时，y＜0；当x=3时，y＞0.即21211a＜0；23231a＞0.解得：59＜a＜1.例4若关于x的不等式2021xmx的解集仅有一个元素，求m的值。解：如图：在同一坐标系内，作出1y与22yxmx的图象。题设条件等价于抛物线22yxmx在直线0y与1y之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。由图形的直观性质可知：这个交点只能在直线1y上，故方程组212yyxmx仅有一组解。2410m即2.m小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。4、求最值问题：例5已知a、b均为正数，且2.ab求2241ab的最小值。第5页共7页解：如图，作线段AB=2，在AB上截取AE=a，EB=b，过A作ACAB，且AC=2，过B作BDAB，且BD=1。由勾股定理：CE=24a，BD=21b，原题即求CE+ED的最小值。又如图，延长CA至G,使AG=AC，连接GE，由三角形两边之和大于第三边，则G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短。作出图形，延长DB至F，使BF//AG且BF=AG，连接GF.则在Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=222223213DGDFGFCE+DE的最小值是13.即2241ab的最小值是13.小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。二、用代数与三角方法解决几何问题：例6如图，在△ABC中，AB＞AC，CF、BE分别是AB、AC边上的高。试证：ABCFACBE证法一：（三角法）因为0sin1A，()sinABACABACAsinsinABACAACABA(90)ABCFACBEA当时取等号证法二：（代数法）由AB＞AC＞CF，AB＞BE及S△ABC1122ABCFACBE.ABACACCFBECFACAB-BE变形得：ABABBE＞ACCFABCF＞ACBE90A当时,ABCF=ACBE.ABCDEFGab22122ABCEF第6页共7页综上：.ABCFACBE小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。例7如图，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DEBC，EFAC，FDAB同时成立，求点D在AB上的位置.分析：先假设符合条件的点D、E、F已经作出，再利用已知条件，寻找线段与角之间的数量关系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解。解：设AB=1，AD=x因为△ABC为正三角形，且DEBC，EFAC，FDAB，故2AFx,12CFx,224CDCFx141BECEx,282BDBEx而1ADBD,即(82)1xx解得：1.3x即点D位于AB边上13分点处.小结：几何中存在着这样一类问题，即几何图形中的某些点的位置或线段的长度或角度的大小不能依题意画出来，只有根据已知条件求出某一些量时，图形才能画出。而求那些量的方法，常常是通过列方程（组），即转化为代数方程求解。例8如图，△ABC三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19.过△ABC内的点P向△ABC的三边分别作垂线PD、PE、PF（D、E、F为垂足）.若27.BDCEAF求：BDBF的长.解：设BDx，CEy，AFz，则17DCx，18AEy，19FBz连接PA、PB、PC.在Rt△PBD和Rt△PFB中，2222(19)xPDzPF同理：2222(17)yPExPD2222(18)zPFyPE将以上三式相加，得：ADEFCBAyzxPFEDCB第7页共7页222222(17)(18)(19)xyzxyz171819487xyz……（1）又已知：27xyz…………（2）由（1）（2）得：1xz即(19)18xz即18.BDBF参考文献：1、《巧学初中数学80法》程旷主编农村读物出版社。