1.2第二章-内插法解读

第二章内插法在航海数值计算中，经常要用到一些专用表册，如：航海表、吃水差表等等，这些表册都是按一定的函数关系编排的，如：y＝f（x）根据已知的x值，查表可求得y值，但是表内不可能一一列出全部y值，当所求的函数值y正好在两表列数值之间，利用表列数据间的引数求y值的方法称为内插法。内插法：利用函数表册，根据任意居间引数查取相应函数的方法。内插分类：a：按使用目的：正内插－已知引数求函数；反内插－已知函数求引数。b：按引数的个数：单内插、双内插、三内插c：按函数的性质：线性内插、变率内插、高次内插第一节比例内插（线性内插）一．比例单内插（一元函数y＝f(x)）引数函数值x0yox1y1……1．比例正内插已知x求y。y＝f（x）比例内插公式：yyyy--010＝xxxx--010y＝y0＋xxxx--010（y1－y0）＝y0＋yyxx1010--（x－x0）Ox0y0x1y1xyf(x)xyabced比率内插的几何意义：用表列引数两点的直线代替曲线进行内插，即以弦代替曲线进行内插。结论：1）f（x）为线性函数，求得的y值没有误差2)f（x）为非线性函数，求得的y值有df误差Ox0y0x1y1xyf(x)xyabcedf①：只要在误差允许的范围内，均可采用线性内插。②：对非线性函数，表间距越小，利用线性内插求得的函数值的误差越小。但是表的篇幅会增大。例2－1－1：设物标高h，垂直角α，水平距离D＝hctgα，利用该式编表2-1-2如下：（1）求α＝4′，h＝13.4m时的D1？αh10203456.212.34.69.33.77.413.46.2D1＝D0＋（h－h0）＝4.6＋（13.4－10）＝6.2nmile0101hh-DD-10206.43.9--（2）求α＝5′，h＝13.4m时的D2？αh10203456.212.34.69.33.77.413.45.0D1＝D0＋（h－h0）＝3.7＋（13.4－10）＝5.0nmile0101hh-DD-10207.34.7--2.比例反内插内插的逆运算，y＝f（x），已知y求x？二.比例双内插（二元函数）当函数有两个自变量时，用比例双内插求近似解。例2－1－2：由例2－1－1的计算结果，求h＝13.4m，α＝4.4时的D？10203456.212.34.69.33.77.413.46.25.05.74.4D＝6.2＋（4.4－4）＝5.7nmile452.60.5--比例双内插的简便算法XYx0x1y0y1z00z10z01z11z=z00+)x(xxxzz0010010---)yy(yyzz0010001---+hα10203456.212.34.69.33.77.413.44.4Z＝4.6＋(13.4－10）＋（4.4－4）＝5.8nmile93462010..－-374654..－-例2－1－3：求h＝13.4m，α＝4.4时的D？z=z00+)x(xxxzz0010010---)yy(yyzz0010001---+第二节变率内插当函数是非线性函数时，如果用比例内插计算将会导致一定的计算误差，为了尽量减小该误差，则引进了变率内插。一.变率单内插（一元函数）利用表中给出的函数变化率进行内插。y＝y0＋（x－x0）dydx（1）用比例内插y＝5.5（2）用x＝2变率内插y＝4＋4（2.3－2）＝5.2（3）用x＝3变率内插y＝9＋6（2.3－3）＝4.8（4）用y＝x2直接计算y＝5.294684916234yxdydx例2－2－1：用y＝x2造表，求x＝2.3时的y？分析：①比例内插误差大；②x＝2的变率内插较准。结论：使用变率内插时，为减小误差，应使用最接近实际引数的表列引数所对应的函数为基准。yxof(x)x0y0x1y1xyypyx0yx1变率内插的几何意义：准确值y按x0变率内插，为yx0按x1变率内插，为yx1yx0最接近准确值y。按比例内插，为yp综上所述查算由非线性函数造的函数表，不论用比例内插还是变率内插都会导致一定的误差。在精度允许的情况下可采用任意一种方法计算。在航海实际工作中大多数采用比例内插。1．已知x＝4.2，Y＝12.3，求Z＝？YX101520332415343647585384960