公路设计合理性分析和改进方案

数学建模课程作业小组成员名单姓名学号学院专业常永乐1500350机械工程与自动化机械设计及理论范云飞1500357机械工程与自动化机械设计及理论房家骥1500359机械工程与自动化机械设计及理论选择题目：√AB公路设计合理性分析和改进方案一摘要本论文通过上网查找事故发生地的实际情况，结合公路设计的标准要求，忽略次要因素，对于问题一，建立了基于分析汽车在弯道内侧滑的条件的公路合理性模型，计算出汽车在弯道内行驶最容易发生事故的点和进入弯道而不发生事故的最大速度。对于问题二，设计缓和曲线，建立了缓和曲线的曲线方程模型，使汽车通过缓和曲线能从直道平滑的过渡到弯道。对于问题一，首先，通过在地图上取点，描绘出事故多发地弯道的曲线形状，将屏幕坐标点转化为实际道路情况坐标点。其次，对得到的反映实际路况的一系列坐标点进行Newton插值处理，并将处理后的点拟合成一个多项式函数。再次，通过分析汽车入弯后行驶时的情况得出发生侧滑的条件。最后，考虑汽车在弯道上每一点行驶的滚动摩擦力，结合已经分析得出的侧滑条件，计算得出在弯道上最容易发生事故的点的坐标，并求出该点对应的进入弯道的初始速度的值，这个值就是能顺利过弯而不发生事故的速度最大值。通过计算得出进入弯道的最大速度为17.2839m/s转换为km/h为62.2221km/h即超过此速度后汽车在弯道内一定会发生事故。对于问题二，由于不要求成本最低，则假设不能改变S型弯道的形状，依据问题一的结论，在不改变弯道形状的前提下，通过设计缓和曲线使汽车安全过弯，缓和曲线作用主要有两点，一是提示司机前方有弯，需减速至60km/h以下，二是使汽车车头能平滑的转动至弯道切线方向，而不因为车头转动过快使汽车失去控制。回旋线是常用的道路平曲线缓和曲线线形，笔者将其加以推广成回旋曲线族，从道路行驶力学特性出发，讨论了它在道路平曲线的缓和曲线设计中的应用，论证了回旋曲线族适合道路线形设计恰当地应用回旋曲线可解决道路线形设计中的许多难题，对各种地形适应性好，与常用的回旋线有较好的统一性，可作为一种新的缓和曲线设计方法应用于道路线形设计中[1]。缓和曲线的设计通过对缓和曲线的要求推导出霍尔布鲁克螺线（回旋线）模型2jjARl，根据要求改变道路成本最低，确定处缓和曲线的最小长度，通过最小长度确定回旋线的参数。求解缓和曲线方程式，通过转化，近似，将此问题转化为求解一个带初值的二阶微分方程的问题，微分方程无法求得解析解，因此采用计算出其在设置缓和曲线范围内的一系列数值解，之后通过最小二乘法对缓和曲线方程做拟合的方法近似计算缓和曲线方程。论文中图七为缓和曲线与弯道连接的示意图。关键词：Newton插值，最小二乘法拟合，滚动摩擦力，缓和曲线，霍尔布鲁克螺线（回旋线），微分方程数值解1二问题重述广元市利州区宝轮镇街道上，于2010年5月25日发生一起交通事故。一辆拉砖的货车一头撞进路边居民房内，司机受伤。该段道路的上段是近2公里的长坡，到出事路段时，则是一段S形的急弯陡坡路。“这一段公路至少都有40多米宽，是宝轮的形象公路。”张建东来到宝白公路另一端说，他家门口的公路，却因为建了一座“山珍大厦”，将整个道路差不多占去一半，该大厦同时将往宝轮方向行驶的车辆的视线完全挡住。“我们认为这段路设计上有问题，以前这里就是一块平地，本来可以建成没有坡的道路，现在却是原没有坡的拱了个坡，没有弯的造了个弯。”附近居民说，行驶至该路段的驾驶员被前方十字路口的建筑挡住视线，驶过此路段的车辆车速都很快，一下坡就遇到红绿灯，根本来不及刹车。汽车行驶经过下坡路段后，车速达到较大的值，在不知道前方有弯道和红绿灯的情况下，不会减速刹车。遇到红绿灯后刹车已经来不及了。在题目给定的条件下，同学们可自行设计符合题意的情景，建立你的数学模型：(1)说明道路设计是否合理；(2)如道路设计不合理需要如何修改设计在最小成本的情况下得到最大改善。三模型假设1.汽车在下坡时不知道前方有急弯。汽车在不知情情况下沿下坡路段一直加速。2.当汽车发现红绿灯时立即刹车减速，并开始过弯。汽车进入弯道为平滑入弯，即是沿弯道的切线方向进入弯道的。3.汽车的转弯半径约等于弯道的曲率半径。4.假设汽车发生的事故只有侧滑而没有侧翻的情况，即当失去平衡时汽车四轮没有离开地面。5.认为只要侧滑就为发生事故。四问题分析通过查阅地图中当地地形的实际情况的卫星视图可清楚的看到事故发生路段的地形情况，事故所发生路段为一个直道下坡之后接一个S型弯道如下图所示：2图片一：事故发生地地形示意图结合地图中的地形和照片中的路口实际情况，分析事故发生的原因可以推断，汽车行驶经过下坡路段后，车速达到较大的值，在不知道前方有弯道和红绿灯的情况下，不会减速刹车。遇到红绿灯后汽车刹车过弯，但已经来不及将速度降低到正常过弯的情况。由于离心力的作用，导致汽车失去控制，发生事故。分析道路设计是否合理即可转化为分析汽车以一定速度从坡道上行驶下来后不发生事故的最大速度的问题。改良公路线型使汽车能平滑入弯[2]。第一步，通过取点将入弯段得公路弯道曲线离散化，用Newton插值对所取离散的点进行插值处理，之后用最小二乘法拟合出在入弯处得公路曲线的函数。第二步，结合第一步所得的函数，计算在入弯处的函数在此点的曲率半径，结合牛顿力学进行分析，得出实际允许的最大速度，与实际情况比较得出公路设计是否合理第三步，以汽车在弯道路段不发生侧滑为原则，对以上两步求得的结果进行优化分析，结合公路设计中的缓和曲线，尽可能大的增大最大速度，权衡成本与速度最优得出结论。五符号说明符号含义(,)iixy在地图上取得一系列的点()yfx汽车行驶到弯道处得曲线方程(,)ssxy汽车驶入弯道时，弯道的起点[,]sexxx弯道在sx处开始到ex处结束，sR，iR汽车入弯时在sx的曲率半径，在弯道中行驶在ix处得曲率半径m汽车的质量sv，iv汽车入弯时的速度，汽车行驶到(,)iixy时的速度汽车的滚动摩擦系数汽车的横向附着力系数e路面超高，即公路平面与水平面夹角is刹车后滑行，从刹车点到(,)iixy的路程。山珍大厦直道S型弯道3()YFx缓和曲线的方程。0x缓和曲线的起始点。jljx点处距开始0x处距离。0v缓和曲线段行驶的平均速度。'a缓和曲线上行驶的离心加速度变化率为'aL缓和曲线的总长度。k直线段得斜率，即入弯点的弯道斜率jR缓和曲线上点(,)jjxy处得曲率半径六模型建立6.1原始数据的取得和处理6.1.1对所取的点进行Newton插值用地图中的点在屏幕上的坐标得到在题目描述路段的道路曲线上的点的坐标并将通过比例尺转化为横纵坐标都为m的点设为(,)iixy。以水平东西方向为x轴，以水平南北方向为y轴建立直角坐标系，。在(,)iixy中对事故发生路段着重取点增大取点的密集程度，提高准确性。对取得的一组点(,)iixy中的事故发生路段的点设为[,]sexxx，设其中有若干组点进行Newton插值，得到更加密集的一组点，使曲线更加平滑。6.1.2最小二乘法拟合由于Newton插值得到的插值多项式一阶可导但二阶不一定可导，而求曲线的曲率时必须用到函数的二阶导数值，因此，对Newton求得的更密集的点用最小二乘法进行拟合，拟合成一个多项式函数，设用最小二乘法拟合求得弯道曲线的方程为()yfx，([,])sexxx并求得汽车在(,)ssxy处入弯。6.2公路弯道设计合理性分析公路设计的合理性可由入弯不发生侧滑的最大速度衡量，即容许通过该路段不发生事故车辆的最大速度。通过动力学理论分析可求得此最大速度。6.2.1弯道曲线中的曲率半径道路曲线的方程为()yfx，则曲线上点的的曲率半径为：43'22''(1)yRy(1)在点(,)ssxy的曲率半径sR为()ssRRx6.2.2汽车不发生侧滑时速度条件模型轮胎在路面上出现横向滑移时的附着系数称为横滑附着系数设其为。汽车通过弯道时，在未使用制动的条件下，不出现侧滑的条件是离心力不大于横向附着力与汽车重力在路面平行方向的分力之和。汽车离心力可表示为2vFmR(2)公示中m为汽车的质量，v为汽车过弯的速度。汽车的横向附着力可表示为：1Fmg(3)由于公路设计时路面都不会是平整的，路面与水平面之间都有很小的夹角，设路面与水平面之间的夹角即路面超高为e，因此重力在路面方向的分力为：2sinFmge(4)在e很小时由于0sinlim1eee，即sin~ee则可以用e近似的代替sine，即上式可化为：2()Fmge(5)要使汽车入弯后不出现侧滑的情况须有：12FFF(6)由以上各式可解得：2()vRgue(7)6.2.3刹车之后速度变化模型刹车之后，发动机停止工作不做功，汽车依靠原有动能在路上滑行，摩擦力最大可取滑动摩擦力mg，不发生侧滑时取滚动摩擦力为mg。设滑到(,)iixy处时汽车速度为iv，在此处弯道的曲率半径为iR。由刹车后汽车动能转化为内能。从(,)ssxy处入弯到达(,)iixy处汽车划过距离由弧长公示可得：5'21[()]isxixsfxdx(8)汽车行驶到ix处时的速度iv满足关系式：221122siimvmvmgs(9)判断公路设计是否合理即判断在弯道曲线上的每一点上是否都有2()iivRgue(10)由以上各式带入化简可得：22()siivgsRge(11)在曲线的每一点都要满足上式，因此应满足：2min[2()]siivgsRge(12)将上式作为评判公路是否合理的标准。6.3缓和曲线道路改善模型在不改变弯道形状的情况下，使道路状态改善，在弯道上发生事故的事故率降低，只有降低入弯时的速度才能达到目的，在6.2的出的结论基础上，在坡道和弯道间加入缓和曲线，缓和曲线能提醒司机前方有弯道，提醒司机减速。经分析该段道路容易发生事故的主要原因就是司机不能提前知道事故路段是一个S型弯道，即弯道曲线的曲率半径变化过快，车通过在坡道和弯道曲线之间加入一条缓和曲线可解决此问题。缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间过渡的线型，是道路平面线型要素之一。在加入缓和曲线后，汽车行驶至缓和曲线范围时开始减速。让司机有足够的时间调整车头方向，使汽车平滑入弯[3]。6.3.1缓和曲线的曲线方程模型此处的缓和曲线应为在一条直线与圆曲线之间的过渡，在理想状态下此缓和曲线应满足如下性质：1.在缓和曲线开始处，曲率半径应与直线曲率半径一致，均为无穷大。2.在缓和曲线结束处，曲率半径应与弯道曲线的曲率半径相同。3.以缓和曲线开始处为参照点，在曲线任意点处曲线的曲率半径都与对应的曲线长成反比例。由以上性质建立缓和曲线方程模型，设缓和曲线从0xx处开始至sxx处结束，jx为缓和曲线上任意一点，此点距0x处距离为jl，曲率半径为jR。缓和6曲线总长为L。在曲线任意点曲率半径与对应曲线长成反比例：1jjRl(13)为使上式满足当0jl时jR，当jlL时jsRR。必须找出一个待定的比例系数，为推导上的便利，由于jr和jl都为正数因此选比例系数为2A。上式可化为：2jjARl(14)此公式即为缓和曲线公式，满足此条件的螺旋线称为霍尔布鲁克螺线（回旋线）。用此作为公路直线段与弯道段的过渡曲线可满足平滑过渡的要求。6.3.2霍尔布鲁克螺线（回旋线）中参数的确定以上推导得出的霍尔布鲁克螺线方程中缓和曲线总长为L是未知量，即缓和曲线的初始位置0x是未知的。霍尔布鲁克螺线的参数2A未知，可根据6.2中拟合出的缓和曲线终点的曲率半径等于弯道起始点的曲率半径得出2A与L的函数关系如下：2sARL(15)分析上述函数式，必须引入其他因素来确定缓和曲线长度的值L从而确定出螺线中的参数2A。缓和曲线的长度应尽可能的小，从而降低修改公路的成本，缓和曲线的最小长度可综合旅客过弯时的舒适程度和缓和曲线段行驶时间长短确定。（1）根据旅客的舒适程度确定L旅客的舒适程度是有离心加速度的变化率决定的，设在缓和曲线上行驶的离心加速度变化率为'a，进入弯道时的离心加速度为a，缓和曲