专题10平面向量中的范围和最值问题

专题十、平面向量中的最值和范围问题平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．考点1、向量的模的范围例1、(1)已知直角梯形ABCD中，AD//BC,090ADC,1,2BCAD,P是腰DC上的动点，则PBPA3的最小值为____________.(2)（2011辽宁卷理）若cba,,均为单位向量，且0ba，0))((cbca，则cba的最大值为()A.2－1B．1C.2D．2(3)（2010浙江卷理）已知平面向量），（，0满足1，且与-的夹角为120°，则的取值范围是_____________.变式：已知平面向量α，β满足||||1，且α与的夹角为120，则|(1)2|tt()tR的取值范围是；小结1、模的范围或最值常见方法：①通过|a→|2=a→2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法．考点2、向量夹角的范围例2、已知OB→＝(2,0)，OC→＝(2,2)，CA→＝(2cosα，2sinα)，则OA→与OB→夹角的取值范围是()A.π12，π3B.π4，5π12C.π12，5π12D.5π12，π2小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法．考点3、向量数量积的范围例3、(1)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，则PBPA的最小值为()(A)24(B)23(C)224(D)223(2)如右图，在梯形ABCD中，DA=AB=BC=12CD=1.点P在阴影区域（含边界）中运动，则AP→·BD→的取值范围是；小结3、数量积问题涉及的方法较多，常用的方法有：①定义；②模与投影之积；③坐标法；④a→·b→=(a→+b→2)2-(a→-b→2)2．考点4、向量的系数问题：例4、给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB⌒上变动.若OC→=xOA→+yOB→其中x，y∈R，则x+y的最大值是______.小结4、向量系数问题的一般处理方法：①点乘法；②几何法；③整体法．变式：已知点G是ABC的重心，点P是GBC内一点，若,APABAC则的取值范围是（）A．1(,1)2B．2(,1)3C．3(1,)2D．（1，2）专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题1、（2011全国新课标理）已知a，b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题12:||1[0,)3pab22:||1(,]3pab13:||1[0,)3pab4:||1(,]3pab其中真命题是（）A.14,ppB.13,ppC.23,ppD.24,pp2、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量a、b满足0ab,a与b的夹角0,4,且ab和ba都在集合2nnZ中,则ab（）A．12B．1C．32D．523、(2012宁波市期末)在ABC中，D为BC中点，若120A，1ACAB，则AD的最小值是（）A.21B.23C.2D.224、（2011福建卷）已知O是坐标原点，点A（－1,1）若点M（x,y）为平面区域212yxyx，上的一个动点，则OAOM的取值范围是（）A．[－1，0]B．[0，1]C．[0，2]D．[－1，2]5、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中点，P,Q是正方体内部及面上的两个动点，则PQAM的最大值是（）A.21B.1C.23D.456、（2011全国大纲理）设向量cba,,满足1ba，21ba，060,cbca，则c的最大值等于（）A．2B．3C．2D．17、如图，在直角梯形ABCD中，，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设，则的取值范围是()OABCEFxyA.B.C.D.8、（2012安徽卷）若平面向量,ab满足:23ab;则ba的最小值是_____；9、已知向量a=),2,1(xb=),4(y,若ab，则yx39的最小值为；10、（2012北京卷）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则CBDE的值为________，DCDE的最大值为______；11、如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为1，E为AB的中点，若F为正方形内（含边界）任意一点，则OEOF的最大值为；12、如图，线段AB长度为2，点,AB分别在x非负半轴和y非负半轴上滑动，以线段AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，1BC，O为坐标原点，则ODOC的范围是.11题图12题图13、（2012上海卷理）在平行四边形ABCD中,∠A=3,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足||||||||CDCNBCBM,则ANAM的取值范围是_________；