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A 卷共 6 页第页 1 概率论与数理统计试卷 (A) 姓名：班级：学号：得分：一.选择题（18分，每题3分） 1.如果 1 ) ( ) (+ B P A P ，则事件A与B 必定（） ) (A 独立； ) (B 不独立； ) (C 相容； ) (D 不相容. 2.已知人的血型为 O、A、B、AB 的概率分别是 0.4； 0.3；0.2；0.1。现任选 4人，则4人血型全不相同的概率为：（） ) (A 0.0024； ) (B 4 0024 . 0 ； ) (C 0. 24； ) (D 2 24 . 0 . 3.设 ~ ) , ( Y Xîíì+= . , 0 , 1 , / 1 ) , ( 2 2 他其 y x y x fp则X 与Y 为（） ) (A 独立同分布的随机变量； ) (B 独立不同分布的随机变量； ) (C 不独立同分布的随机变量； ) (D 不独立也不同分布的随机变量. 4.某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75.则射击次数的数学期望与方差分别为（） ) (A 4 9 3 4 与； ) (B 16 9 3 4 与； ) (C 4 9 4 1 与；(D) 9 4 3 4 与． 5. 设 3 2 1 , , X X X 是取自N( , )m1 的样本，以下m的四个估计量中最有效的是（） ) (A 3 2 1 1 2 1 10 3 5 1 ˆ X X X++=m； ) (B 3 2 1 2 9 4 9 2 3 1 ˆ X X X++=m； ) (C 3 2 1 3 2 1 6 1 3 1 ˆ X X X++=m； ) (D 3 2 1 4 12 5 4 1 3 1 ˆ X X X++=m．6. 检验假设 2222 01 :10,:10 HHss£时，取统计量 ) ( ~ 10 ) ( 2 2 2 1 2 n X i n icmc-=å=，其拒域为（ 1 . 0=a）（） ) (A ) ( 2 1 . 0 2 ncc£； ) (B ) ( 2 1 . 0 2 ncc³； ) (C ) ( 2 05 . 0 2 ncc£； ) (D ) ( 2 05 . 0 2 ncc³ . 二. 填空题（15分，每题3分）A 卷共 6 页第页 2 1.已知事件A，B有概率 4 . 0 ) (= A P ， 5 . 0 ) (= B P ，条件概率 3 . 0 ) | (= A B P ，则=È ) ( B A P ．2.设随机变量X 的分布律为÷÷øöççèæ-+ c b a 4 . 0 1 . 0 2 . 0 4 3 2 1 ，则常数 c b a , , 应满足的条件为. 3.已知二维随机变量 ) , ( Y X 的联合分布函数为 ) , ( y x F ，试用 ) , ( y x F 表示概率= ) , ( b Y a X P . 4.设随机变量 ) 2 , 2 ( ~- U X ， Y 表示作独立重复m次试验中事件 ) 0 ( X 发生的次数，则= ) (Y E ，= ) (Y D . 5．设 ) , , , ( 2 1 n X X X L是从正态总体 ) , ( ~ 2sm N X 中抽取的样本，则概率=£-£å= ) 76 . 1 ) ( 37 . 0 ( 2 2 20 1 20 1 2ss X X P i i . 5.设 n X X X , , , 2 1 L为正态总体 ) , ( 2sm N （ 2s未知）的一个样本，则m的置信度为1a－的单侧置信区间的下限为 . 三. 计算题（54分，每题9分） 1．自动包装机把白色和淡黄色的乒乓球混装入盒子，每盒装12只，已知每盒内装有的白球的个数是等可能的。为检查某一盒子内装有白球的数量，从盒中任取一球发现是白球，求此盒中装的全是白球的概率。 2．设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为A 卷共 6 页第页 3 1,02,max{0,1}min{1,} (,) 0, xxyx fxy otherwise££-££ì=íî求：边缘密度函数 (),() XY fxfy . 3. 已知随机变量X 与Z 相互独立，且 ) 1 , 0 ( ~U X , ) 2 . 0 , 0 ( ~U Z ， Z X Y+=，试求： (),(), XY EYDYr . 4. 学校食堂出售盒饭，共有三种价格 4 元，4.5 元，5 元。出售哪一种盒饭是随A 卷共 6 页第页 4 机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3，0.2，0.5。已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930 元之间的概率。 5. 设总体X的概率密度为îíìÏÎ+= ) 1 , 0 ( , 0 ) 1 , 0 ( , ) 1 ( ) , ( x x x x fqqq 1q-为未知参数. 已知 12 ,,, n XXX L是取自总体X的一个样本。求：(1) 未知参数q的矩估计量； (2) 未知参数q的极大似然估计量； (3) ) (X E 的极大似然估计量. 6. 为改建交大徐汇本部中央绿地，建工学院有 5 位学生彼此独立地测量了中央A 卷共 6 页第页 5 绿地的面积，得如下数据（单位： 2 km ） 1.23 1.22 1.20 1.26 1.23 设测量误差服从正态分布.试检验（ 0.05a=）（1）以前认为这块绿地的面积是m=1.23 2 km ，是否有必要修改以前的结果？（2）若要求这次测量的标准差不超过 0.015s=，能否认为这次测量的标准差显著偏大？四. 证明题（6 分）设 12 ,,,, n XXX LL是相互独立且都服从区间 ] , 0 [q上的均匀分布的随机变量序列，令 1 max{} ni in YX££=，证明 1 ) ( lim=-¥®eq n n Y P .A 卷共 6 页第页 6 五．是非题（7分，每题1分） 1. 设样本空间{} 4 3 2 1 , , ,=W，事件{} 4 3 1 , ,= A ，则 75 . 0 ) (= A P . （） 2. 设n次独立重复试验中，事件A出现的次数为X，则 5n次独立重复试验中，事件A出现的次数未必为5X . （） 3．设a, b为常数，F(x)是随机变量X的分布函数. 若F(a) F(b), 则 a b. （） 4. 若随机变量 ) 5 . 0 ; 1 , 0 ; 1 , 0 ( ~ ) , (- N Y X ，则 ) 1 , 0 ( ~ N Y X+（） 5. ) ( ) ( ) ( Y E X E XY E=是X 与Y 相互独立的必要而非充分的条件. （） 6. 若随机变量 ) , ( ~ m m F X ，则概率 ) 1 (£ X P 的值与自然数m 无关. （） 7．置信度a- 1 确定以后，参数的置信区间是唯一的. （）附分布数值表 99 . 0 ) 33 . 2 ( , 9032 . 0 ) 30 . 1 ( , 9474 . 0 ) 62 . 1 ( , 926 . 0 ) 45 . 1 (=F=F=F=F 0150 . 2 ) 5 ( , 1318 . 2 ) 4 ( , 5706 . 2 ) 5 ( , 7764 . 2 ) 4 ( 05 . 0 05 . 0 025 . 0 025 . 0==== t t t t 711 . 0 ) 4 ( , 488 . 9 ) 4 ( , 484 . 0 ) 4 ( , 143 . 11 ) 4 ( 2 95 . 0 2 05 . 0 2 975 . 0 2 025 . 0====ccccA 卷共 6 页第页 7 概率统计试卷 A (评分标准) 一. 选择题（15 分，每题 3分） [ 方括弧内为 B卷答案 ] C A C A D . . [ A D B C A ] 二. 填空题（18 分，每题 3分） 1. 62 . 0 [ 84 . 0 ]； 2.. 0 , 4 . 0 , 1 . 0 , 3 . 0³£-³=+- c b a c b a 且 [ 0 , 3 . 0 , 2 . 0 , 4 . 0³-³£=+- c b a c a b 且 ]； 3. ) , ( ) , ( ) , ( 1 b F a F b a F+¥-¥+-+ [ ) 22 , ( ) , 6 ( ) 22 , 6 ( 1+¥-¥+-+ F F F ]； 4. 4 / , 2 / m m [ 4 / , 2 / n n ] ； 5. 985 . 0 [ ) 1 (-+ m t m S Xa ]； 6. ) 1 (-- n tn S Xa [ 98 . 0 ]. 五. 是非题（7 分，每题 1 分）非非是是是是非. [ 是非是非非非是 ] 三. 计算题（54 分，每题 9 分） 1．解：令 A={抽出一球为白球}， t B ={盒子中有 t个白球}， 12 , , 2 , 1 , 0 L= t . 由已知条件， 13 1 ) (= t B P ， 12 ) ( t B A P t=, 12 , , 2 , 1 , 0 L= t ， [ 11 1 ) (= t B P , 10 ) ( t B A P t=, 10 , , 2 , 1 , 0 L= t ]（3 分）由全概率公式，åå==== 12 0 12 0 12 13 1 ) ( ) ( ) ( t t t t t B A P B P A P , [å== 10 0 10 11 1 ) ( t t A P ] （3 分）由 Bayes 公式， 13 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 12 0 12 13 1 13 1 12 12 12===å= t t A P B A P B P A B P . [ 11 2 ) ( 10= A B P ] (3 分) 2. 解： ,01 ()2,12 0, X xx fxxx otherwise£ìï=-££íïî [ 1,[0,1] () 0,[0,1] X x fx xÎì=íÏî（4 分）] （5分） 1,[0,1] () 0,[0,1] Y y fy yÎì=íÏî [ ,01 ()2,12 0, Y yy fyyy otherwise£ìï=-££íïî（5 分）] （4 分）A 卷共 6 页第页 8 3．解： 11111 (),()()() 222020 EXEYEXEZ==+=+=（3 分） cov(,)(())()() 1 () 12 XYEXXZEXEXZ DX=+-+== 11101 ()()()() 1212001200 DYDXZDXDZ=+=+=+= [ 150 13 ] （3分） 1 100 12 101 1101 121200 XYr== [ 26 25 ] （3分） 4．解：设 i X 为第 i 盒的价格(1,2,,200.) i=L，则总价 200 1 i i XX==å（1分） ()4.6,()0.19 ii EXDX==（2 分） 200 1 ()()2004.6920 i i EXEX===´=å . 200 1 ()()2000.1938 i i DXDX===´=å . （2 分） 910920()930920 (910930)() 38()38 10 2()12(1.622)120.947410.8948 38 XEX PXP DX---££=££»F-=F-=´-= [ 8064 . 0 1 ) 298 . 1 ( 2 ) 928 912 (=-F»££ X P ] （4分） 5．解：（1）矩估计量 12 ˆ 1 X Xq-=- [ ˆ 1 X Xq=- ] （3 分）（2）极大似然估计量 1 1 ˆ 1 1 ln n i i X nq==--å [ 1 1 ˆ 1 ln n i i X nq==-å ] （3 分）（3） ) (X E 的极大似然估计量å=-=++= n i i n X X E 1 1 ln 1 1 2 ˆ 1 ˆ ) ( ˆqq