初二数学上册四边形性质探索借鉴

四边形性质探索一、知识框架——四边形由一般到特殊的演变示意图二、知识梳理1、平行四边形（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）性质平行四边形的邻角互补，对角相等；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；符号语言表达：四边形ABCD是平行四边形附加：若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积；两平行线间的距离处处相等．（3）判定方法判别方法1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；符号语言表达：AB∥CD.BC∥AD四边形ABCD是平行四边形判定方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；符号语言表达：AB=CD，BC=AD四边形ABCD是平行四边形．判定方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；符号语言表达：OA=OC，OB=OD四边形ABCD是平行四边形．判定方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言表达：AB平行且相等CD或BC平行且相等AD四边形ABCD是平行四边形．判别方法5：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。符号语言表达：∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB四边形ABCD是平行四边形．例1：如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：∠BAE=∠DCF.证明：例2：如图2，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF.（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.解：评注：本题是一道猜想型问题.先猜想结论，再证明其结论.2、矩形（1）定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）性质具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形；又是中心对称图形。（3）、判定方法定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；判定方法1：有三个角是直角的四边形是矩形；判定方法2：对角线相等的平行四边形是矩形．例3如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求证：BE=CF.证明：CABDEFADBCEF(图2)MNOABCDEF评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.例4四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.（1）如果，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论.解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一.3、菱形（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）性质具有平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形．（3）判定方法定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；判定方法1：四条边都相等的四边形是菱形；判定方法2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．例5、如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形.证明：ABCDEFO4、正方形（1）定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形；（2）性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．边——四边相等、邻边垂直、对边平行；角——四角都是直角；对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；正方形是轴对称图形，有4条对称轴．（3）判定方法：判定一：一组邻边相等的矩形是正方形；判定二：一个角是直角的菱形是正方形．5、梯形（1）梯形的定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形（2）梯形的性质及其判定；梯形是特殊的四边形，具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行．一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断．（3）等腰梯形的性质和判定：①性质：等腰梯形在同一底边上的两个内角相等，两腰相等，两底平行，两对角线相等，是轴对称图形，只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴）．②判定方法：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形．（4）直角梯形有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．例6已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE=2EA，CF=2FD.求证：∠BEC=∠CFB.证明：例7如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC和BDABCDEFABCDEGOF相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.例8有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图上），并给予合理的解释.解析：方案二：方案三：6、多边形的内角和与外角和n边形内角和等于（n－2）·180°；任意多边形的外角和都等于360°．7、平面图形的密铺对于正多边形来说，只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺．一般三角形、一般四边形有的也可以密铺．例9请将四个全等直角梯形（如图），拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）．解析：拼法有多种，现列举四例：BADCOFEG（1）ABCDEF（2）ABCDE（3）ABCDE8、中心对称图形1·如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。2·图形上对称点的连线被对称中心平分；适时训练（一）精心选一选1.下列命题正确的是（）A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形B.对角线相等的四边形一定是矩形C.两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形D.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2.已知平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则AC的取值范围为()A.6AC10；B.6AC16；C.10AC16；D.4AC163.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）44．延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，若∠DAB＝120°，∠CFE＝135°，AB＝1，则AC的长为（）（A）1（B）1.2（C）32（D）1.55．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BD的长是（）（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）4cm6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线()（A）互相垂直（B）相等（C）互相平分（D）互相垂直且相等7.如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=5那么四边形AFDE的周长是（）（A）5（B）10（C）15（D）208.如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）(A)4cm(B)6cm(C)8cm(D)10cm第7题第8题第9题9.如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）ABCDOEABCDEF（1）（2）ADBCEFO（A）34（B）33（C）24（D）８10.如图,在一个33方格纸上,若以格点(即小正方形的顶点)为顶点画正方形，在该33方格纸上最多可画出的正方形的个数是()个.A.13B.14C.18D.20（二）细心填一填1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为＿＿＿＿形。2.若正方形的对角线长为2错误!未找到引用源。cm，则正方形的面积为＿＿＿。3.若矩形一个内角的平分线，把另一边分为4cm,5cm两部分，则这个矩形周长是＿＿＿4.已知：平行四边形ABCD的周长是30cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长5cm，则这个平行四边形的各边长为＿＿＿＿＿。5.已知：平行四边形ABCD中，AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，AB＋BC＋CD＋DA＝32cm，BC＝35AB，∠EAF＝2∠C，则BE长为＿＿＿，则∠C＿＿＿.6.已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E、F分别是边AB、BC上的点，若AE＝4cm，CF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为。7．如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．（三）认真答一答1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=2,∠BAD=120°,对角线AC平分∠BCD，求等腰梯形ABCD的周长。2.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论ABCDEFD′3、如图，四边形ABCD是平行四边形AD=12、AB=13，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长。4、如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。（1）写出图中每一对你认为全等的三角形；（2）选择（1）中的任意一对进行证明。5、在□ABCD中，E、F分别在DC、AB上，且DE=BF，四边形AFCE是平行四边形吗？说说你的理由。DABCEF6、如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.7、矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥DB，DE、CE交于E，那么四边形DOCE是菱形吗？请你写出说明过程．8、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，延长AB到点E，使BE＝DC，连结CE。（1）试说明四边形DBEC是平行四边形；（2）AC与CE长度的大小关系怎样？请说明理由。9、如图，已知□ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且EF垂直平分对角线AC，垂足为O，问：四边形AECF是菱形吗？请说明理由。ABDCEFODABEC