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初二数学：因式分解（一）因式分解——提公因式法（一）、内容提要多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。因式分解的概念是把一个多项式化成n个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法。它的理论依据就是乘法的分配律。运用这个方法，首先要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式。[知识要点]：1．了解因式分解的意义和要求2．理解公因式的概念3．掌握提公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式（二）、例题分析例1．下列从左到右的变形，属于因式分解的有（）1.(x+1)(x-2)=x2-x-22.ax-ay-a=a(x-y)-a3.6x2y3=2x2·3y34.x2-4=(x+2)(x-2)5.9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a)A、0个B、1个C、2个D、3个分析：从左到右，式1是整式乘法；式2右端不是积的形式；式3中左右两边的均是单项式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成n个整式的乘积形式；式5的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式4是正确的。（答案）解：B例2．把-3a2b3+6a3b2c+3a2b分解因式分析：如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。此题各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次项是a2b.解：-3a2b3+6a3b2c+3a2b=-(3a2b3-6a3b2c-3a2b)=-3a2b(b2-2abc-1)评注：当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为1或-1，而不是零。1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查。例如，观察-3a2b(b2-2abc-1)是否等于-3a2b3+6a3b2c+3a2b，从而检查分解是否正确以及丢项漏项。例3．分解因式3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x)分析：因为y-2x=-(2x-y),就是说y-2x与2x-y实质上是相同因式，因此本题的公因式是3ab(2x-y).解：3a2b(2x-y)-6ab2(y-2x)=3a2b(2x-y)+6ab2(2x-y)=3ab(2x-y)(a+2b)评注：本题的公因式是多项式，此类型题只要把(2x-y)看作一个整体即可。另外，注意因式分解的结果，单项式写在多项式的前面。例4．分解因式：2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(b-a)2分析：要找出这三个项的公因式。因为(b-a)2=[-(a-b)]2=(a-b)2，因此(a-b)2就是公因式，分解结果有相同的因式要写成幂的形式。解：2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(b-a)2=2a(a-b)3-a2(a-b)2+ab(a-b)2=a(a-b)2[2(a-b)-a+b]=a(a-b)2(a-b)=a(a-b)3.评注：多项式中的公因式，有些比较简单，有些则比较复杂，需要进行些运算才能发现公因式，但不能生搬硬套。记住下面结论是有益的。当n为奇数时，(x-y)n=-(y-x)n;当n为偶数时，(x-y)n=(y-x)n.例5．不解方程组求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值。分析：先把7y(x-3y)2-2(3y-x)3进行因式分解，再将2x+y=6和x-3y=1整体代入。解：7y(x-3y)2-2(3y-x)3=7y(x-3y)2+2(x-3y)3=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]=(x-3y)2(2x+y)∵∴原式=12×6=6评注：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用。例6．求证：32000-4×31999+10×31998能被7整除。分析：先把32000-4×31999+10×31998因式分解证明：∵32000-4×31999+10×31998=31998×(32-4×3+10)=7×31998∴32000-4×31999+10×31998能被7整除。（三）、练习一、选择题：（1）在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（）A、-5x2y3=-5xy(xy2)B、x2-4-3x=(x+2)(x-2)-3xC、ab2-2ab=ab(b-2)D、(x-3)(x+3)=x2-9（2）49a3bc3+14a2b2c2-21ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是（）A、7abc2B、7ab2c2C、7a2b2c2D、7a3bc3（3）把多项式3m(x-y)-2(y-x)2分解因式的结果是（）A、(x-y)(3m-2x-2y)B、(x-y)(3m-2x+2y)C、(x-y)(3m+2x-2y)D、(y-x)(2x-2y+3m)（4）在下列各式中：①a-b=b-a;②(a-b)2=(b-a)2;③(a-b)2=-(b-a)2;④(a-b)3=(b-a)3;⑤(a-b)3=-(b-a)3;⑥(a+b)(a-b)=(-a+b)(-a-b)正确的等式有（）A、1个B、2个C、3个D、4个（5）在分解-5x3(3a-2b)2+(2b-3a)2时，提出公因式-(3a-2b)2后，另一个因式是（）A、5x3B、5x3+1C、5x3-1D、-5x3（6）下列各组代数式中没有公因式的是（）A、5m(a-b)与b-aB、(a+b)2与-a-bC、mx+y与x+yD、-a2+ab与a2b-ab2（7）下列各题因式分解正确的是（）A、3x2-5xy+x=x(3x-5y)B、4x3y2-6xy3z=-2xy2(2x2-yz+3)C、3ab(a-b)-6a(a-b)=3(a-b)(ab-2a)D、-56x3yz+14x2y2z-21xy2z2=-7xyz(8x2-2xy+3yz)（8）把(-2)1999+(-2)2000分解因式后是（）A、21999B、-2C、-21999D、-1（9）把3an+2+15an-1-45an分解因式是（）A、3(an+2+5an-1-15an)B、3an(a2+5a-1-15)C、3an-1(a3+5-15a-1)D、3an-1(a3+5-15a)[答案]:1.C2.A3.B4.C5.C6.C7.D8.A9.D二、填空题：1．单项式-4a2b2c3，12ab2c,8ab3的公因式是________。2．多项式9x3y-36xy3+3xy提取公因式________后，另一个因式是______。3．多项式8x2n-4xn提取公因式后，括号内的代数式是______。4．分解因式：x(m-n)(a-b)-y(n-m)(b-a)=_________.5．分解因式：x(x+y)(x-y)-x(y+x)2=________.6．2y(x-2)-x+2分解因式________。[答案]：1.4ab22.3xy,3x2-12y2+13.2xn-14.(m-n)(a-b)(x-y)5.-2xy(x+y)6.(x-2)(2y-1)三、解答题：1．把下列各多项式分解因式(1)a5b-a2b3+a2b(2)-7x2y-14xy2+49x2y2(3)(x+y)(a2+a+1)-(x-y)(a2+a+1)(4)18x2(x-2y)2-24xy(2y-x)2-12x(2y-x)3(5)x(x+y-z)+y(x+y-z)+z(z-x-y)(6)y(2x-y)2-2x(y-2x)22．计算下列各式(1)7.6×200.1+4.3×200.1-1.9×200.1(2)1011-5×1093．先化简，再求值。(1)已知2x-y=,xy=2,求2x4y3-x3y4的值。(2)已知4x2+7x+2=4,求-12x2-21x的值。4．求证下列各题(1)证明72000-71999-71998能被41整除(2)求证：奇数的平方减去1能被8整除(3)求证：连续两个整数的积，再加上较大的整数其和等于较大整数的平方。[答案]：1．(1)a2b(a3-b2+1)(2)-7xy(x+2y-7xy)(3)2y(a2+a+1)(4)6x(2y-x)2(5x-8y)(5)(x+y-z)2(6)原式=y(2x-y)2-2x(2x-y)2=(2x-y)2(y-2x)=-(2x-y)32．(1)原式=200.1×(7.6+4.3-1.9)=200.1×10=2001(2)原式=109×(102-5)=109×95=9.5×10103．(1)解：∵2x-y=,xy=2,∴2x4y3-x3y4=x3y3(2x-y)=23·=.(2)解：∵4x2+7x+2=4∴4x2+7x=2∴-12x2-21x=-3(4x2+7x)=-3×2=-6.4．(1)证明：∵72000-71999-71998=71998(72-7-1)=41×71998∴72000-71999-71998能被41整除。(2)证明：设奇数为2n+1,则(2n+1)2-1=(2n+1-1)(2n+1+1)=2n·(2n+2)=4n(n+1)又∵相邻两个整数的积一定是偶数∴n(n+1)是偶数即n(n+1)是2的倍数，∴4n(n+1)是8的倍数，故原命题成立。(3)证明：设n为整数，则n,n+1是两个连续整数，∴n·(n+1)+(n+1)=(n+1)(n+1)=(n+1)2,故原命题成立。课外：初二学生数学学法指津初一匆匆过去，初二迎面而来，如果说一个人成才的基础工程在初中，而这个工程的核心则在初二。所以高度重视认真探索学习方法、研究学习方法具有重要意义。下面我们一起来就初二学习的内容，学习内外部环境,学习方法指导等方面探求、分析。一、初二学习内、外部环境的变化。１、学科上的变化：和初一比较，初二开始添设几何和物理，这两个学科都是思维训练要求较强的学科，直接为进入高一级学科或就业服务的学科。２、学科思维训练的变化：初二各学科在概念的演化、推理的要求、思维的全面性、深刻性、严密性、创造性方面都提出了比初一更高的要求。３、思维发展内部的变化：思维发展从思维发展心理学的角度看已进入新的阶段，即已经炽烈地、急剧地进入第五个飞跃期的高峰。这个“飞跃”期是否会缩短，“飞跃”的质量是否理想要靠两个条件：1）教师精心的指导；２）自己不懈地努力。４、外部干扰因素的变化：初二正是你性格定型加快节奏，幻想重重的年龄期，常常表现出心理状态和情绪的不稳定，例如逆反情绪发展。这给外部的诱惑和干扰创造了乘虚而入的条件。不要因为这些妨碍自己正常地接受教师和家长的指导，破坏了专一学习的正常心理状态。要学会“冷静”、“自抑”，把充沛的青春活力投入到学习活动中去。二、初二学法指导要点。１、积极培养自己对新添学科的学习兴趣。平面几何是逻辑推理、形象思维、抽象思维的训练，平几学习的好坏，直接影响你的思维发展，影响你顺利地完成第五个思维发展飞跃。理化学科是你将来从事理工科的基础，语文的快速阅读和写作训练也在为你今后的发展奠定基础。切记勿偏科，初中阶段的所有学科都是你和谐完美发展的第一块基石。２、用好“读、听、议、练、评”五字学习法，掌握学习主动权。读：读书预习；听：听课；议：讲议讨论；练：复读练习，形成技能；评：自我评价掌握学习内容的水平。３、在评价中学习，在评价中达标：“在评价中学习”是指给自己提出明确的学习目标，在目标的指导和鞭策下学习。“在评价中达标”是指只有进入“自我评价状态的学习”，才能有效地达到学习目标，强烈的自我追逐学习目标，才能高质量、高水平的达到目标。４、听课要诀：（１）在自学预习的基础上听；（２）手脑并用，勤于实践议练，勤于笔记，养成笔记的习惯；（３）勇于发言，发问，暴露自己的疑点、弱点；（４）把握重点和难点。对“重点”要“练而不厌”，对“难点”要锲而不舍；（５）形散神不散。课堂上，教师的读、讲、议、练、评活动安排从形式上可能有些“散”，你要积极参与配合，做到45分钟形散神不散；（６）重视每节课的归纳小结，把感性认识上升为理性认识。就数学而言要学会归纳知识结