初等数论课程教案(第二章)

初等数论-第二章不定方程§1一次不定方程1111112,,(1)kkkkkkkcaaaaxxaxaxckaa定义设整数,,是整数且都,,不为零,以及,,是整数变数.方程称为元一次不定方程,,,称为它的系数.11,0111,011,0,0111,011,0,.).(2),).,(kkkkkkkkkgccgcyyaaacaacxxgggyaygxcyxcygaa证必要性显然.若,设.由第一章4定理8知,必有整数,使定理1不定方程有解的充要条件是(,,进而,不定方程有解时,它的解和不定方程的解相同.这里,,得因此即为(1§.gcg)的一组解,这就证明了充分性.由于(1)有解时必有,而这时不定方程(1)和(2)是同一个方程.定理1表明讨论不定方程(1)的关键是讨论它的系数的最大公约数11221,02,0211,012122,012(4),(,)0,1,2,...(5),(,)axaxcxxaxxtaataxxtaa定理2设二元一次不定方程有解,,是它的一组解,那么,它的所有解为122111,022,011,022,0121212112211,022,0111,0222,01211,022,01212,[][].(,)(,),.()()()()(,)(,)xxaaaxtaxtaxaxcaaaaxxaxaxcaxaxaxxaxxaaxxxxaaaa证将式(5)给出的代入不定方程(4).反过来,设是(4)的一组解,我们有进而有12211,0121212122,01212(,)(,)(,).,(,)aaatxxaaaaaaaxxtxxaa因(,)=1由第一章4定理6知.进而由以上两式得=这就证明了可表示为式(5)的形式.1122121,02,0(,;),,.axaxcgaagcgcxx求解二元一次不定方程的方法：(i)求出最大公约数),并判断是否有(ii若即有解,则设法求出一组特解我们可以用辗转相除法来求特解,再根据定理2求出其所有解.12211131133343314344117213811(11738)62(94)21211(94)2111(214)2(34)991(34)911(94)31213xxxxxxxxZxxxxxxZxxxxx例求的解解最后一式表明:,不能同时为整数，所以不定方程无解112121232312312111221111223,,,,2(-1),...,,...,,1,.................................kkkkkkkkkkkkgaggaaaggaaaakxxyykgyaxcgyaxgygya定理设=,=()=(),=()=(,),那么不定方程(1)等价于下面的有个整数变数个方程的不定方程组：3333112223-1.xgygyaxgyk当方程(1)有解时,它的通解由有个参数的线性表达式给出121212121212121212121212,//1;,//;aacaacaacaacaaaaaacaacaacaacaacaa定理4设,及均为正整数,()=1.那么不定方程(4)有非负解,解数等于[()]或[()]当-时,不定方程(4)没有非负解.定理5设,及均为正整数,()=1.当时,方程(4)有正解,解数等于-[-()]-1或-[-()]当时,方程(4)无正解.§2222(1),00xyzxyzxyzPythagoras定义二次不定方程它通常称为商高方程或方程.方程满足的解称为显然解,的解称为非显然解.222xyz,;,0,,0(2),,,,,(),,,/,/,/()0,0,0,(,,aaaaaxyzkkxkykzxyzdxdydzdxyzxyz全体显然解是0,这里正负号任意选取.若是的非显然解,那么,对任意正整数正负号任选也是(1)的非显然解;以及对的任意的正公约数正负号任选也是(1)的非显然解.因此，为了求出全部非显然解,只要求方程(1)满足以下条件的解)1,(3),,,xyz即既约的正解这样的解称为方程(1)的本原解.,,(,)(,)(,)1(4)2|(5),xyzxyyzzxxyxypxpy引理1不定方程(1)的本原解必满足条件:证若不既约,则有素数,,由(1222222..(,,)1(,)1,(,)1.(,)1,,|,,pzpzxyzyzzxxyxyxyxyzzxyxy)知由此及第一章定理知但这和矛盾.同理证由知,不能同为偶数.也不能同为奇数.因为若为奇数,则可推出4及为偶数.而由(1)知4矛盾.所以，必为一奇一偶,即式(5)成立.§512222,2,(6),0,(,)1,2(7)yxrsyrszrsrsrsrsrs定理2不定方程(1)的为偶数的全体本原解由以下公式给出：其中为满足以下条件的任意整数定理3单位圆周上的整点是：{1,0},{0,1};不是整点的|22222222222222,,rsrsrsrsrsrsrsrsrs有理点是：{,},{}其中为满足式(7),正负号任意选择.442442224224422222222442200(,)16,4(),,4(),6,,,xyzxyzxyzxyzxyzxyxababyababzabxababyababzabab定理4不定方程的无的解.推论5不定方程的无的解.定理6不定方程的满足条件的全部正整数解是及其中为满足以下条件的任意0,(,)1,2|.ababab整数：