关于上下极限的一些问题

关于上下极限的一些问题利用上下极限我们可以更加完整地刻画和分析序列的性态。正确理解这个概念的精细之处并不容易。深入把握并熟练运用上下极限的技巧已超出了我们的教学要求。因此同学们可根据自己的情况对这部分内容做出适当的安排。通常有两种方式定义上下极限。课本里给出的定义（第一章总复习题题15，第24页）称为上下极限的确界定义。此外，我们还可以定义序列的上下极限分别为序列的最大和最小的聚点。我们称这种定义为聚点定义。（序列的任意一个收敛子列的极限称作为序列的一个聚点，也称序列的极限点。）我们在课堂里已经证明了这两种定义的等价性。上下极限的聚点定义似乎更容易直观理解和把握。而确界定义则更具有实际操作意义。以下我们列出一些关于上下极限的性质。它们的证明有些比较容易，如(i)的证明。根据上下极限的聚点定义，结论是显而易见的。有些不太容易，但也不太难，努力一下可以证出来。如(ii)的证明。所有证明在这里均从略。在吉米多维奇习题解答的书中，可以找到相关的证明。设序列}{nx，}{ny均有界，则下列结论成立。(i)若nnyx，0nn，则nnyxlimlim，nnyxlimlim。（保序性）(ii)nnnnnnnnyxyxyxyxlimlim)(lim)(limlimlim。(iii)nnxxlim)(lim，nnxxlim)(lim。(iv)若0,nnyx，则)lim)(lim()(lim)(limlimlimnnnnnnnnyxyxyxyx(v)若极限nnxlim存在，则nnnnyxyxlimlim)(lim，nnnnyxyxlimlim)(lim(vi)若0nx，则nnxxlim11lim，nnxxlim11lim(vii)若0axn，且极限nnxlim存在，则)lim)((lim)(limnnnnyxyx，)lim)((lim)(limnnnnyxyx。以下四道题均涉及到序列极限的存在性。我们将利用上下极限的技术来证明极限的存在性，以显示上下极限技术很给力。题1.设数列}{nx满足mnmnxxx0，1,mn。证明极限nxnnlim存在。（这道题与第一章总复习题题14第24页类似。）注:如果哪位同学能够证明所述极限的存在性，但不使用上下极限技术，请一定和老师取得联系。这说明你真的很厉害。证明：根据关系式mnmnxxx0，我们容易得到10nxxn。这表明10xnxn，1n，即序列nxn有界。因此其上下极限满足1limlim0xnxnxnn。任意固定正整数m。则每个正整数n均可表为rkmn，其中mr0。仍根据mnmnxxx0，我们得rmnxkxx0。因此nxnkxnxrmn。现在我们取上极限（关于指标n取）得nxnkxnxrmnlimlimlim。注意正整数m固定，数r虽然随着n在变化，但mr0。于是mxnmrnxnkxnkxmmmm/)(limlimlim，并且0limnxr。这就得到对于任意固定的正整数m，我们得到mxnxmnlim。对这个不等式左边关于m取下极限得mxnxmnlimlim。这表明nxnxnnlimlim。因此极限nxnnlim存在。证毕。题2：设数列}{na由递推关系式nnaa111，1n，11a确定。讨论数列}{na的收敛性。（这是课本的习题1.4题14，第19页）。解：不难确定21na，1n。利用性质(vi),对关系式nnaa111两边分别取上极限和下极限，我们可以得到nnaalim11lim，nnaalim11lim。记nalim:，nalim:，则有11，11。由此得到1和1。从而有。此即序列}{na的上下极限相等。因此它的极限存在。进一步可确定其极限值为二次方程12的正根2/)51(0。解答完毕。注：当然可以用其他方法证明序列}{na极限的存在性。不难证明12na有上界0，na2有下界0。因此它们均有极限。不难确定它们的极限值相等。细节略。题3：利用上下极限技术，证明Stolz定理（/型）：考虑极限nnnbalim。假设nb严格，且极限11limnnnnnbbaa存在，记作l（这里允许l和l），则极限lbannnlim。证明：以下只证明l为有限的情形。其它情形的证明类似。根据假设lbbaannnnn11lim知，对于0，0N，使得lbbaalnnnn11，Nn。于是lbbaalNNNN11，lbbaalNNNN1212，lbbaalnnnn11，Nn。根据分数不等式（见第一次习题课讨论题）可知，lbbaalNnNn，Nn。将上式写作lbbbabalnNnNnn1，Nn。（*）由假设nb知，0limnNnba，0limnNnbb。于不等式（*）分别取上极限和下极限得lbalnnlim，lbalnnlim。由于上下极限均为确定的常数，且正数0可以任意小，因此必有nnnnbalbalimlim。这就证明了定理的结论。证毕。题4：设两个序列}{na，}{nb由关系式12nnnaab相联系。证明，若序列}{nb收敛，则序列}{na也收敛。证明：我们将证明序列}{na的上下极限相等。为此，我们先证明序列}{na有界。由假设序列}{nb收敛知，序列}{nb有界。将关系式12nnnaab写作2/)(1nnnbaa。这样不难由归纳法证明序列}{na有界。记naAlim:，naAlim:，nbBlim:。将关系式12nnnaab写作nnnaba12。（**）对等式（**）分别取上下极限，并利用上下极限的性质(iii)和(v)，就得到ABA2，ABA2。由此立刻得到AA。即序列}{na的上下极限相等。从而序列}{na收敛。证毕。